Dérivée et point fixe

[rounox]

Bonjour ,
j'ai une application f(t)= (2t^3+a)/(3t^2+1) , avec a un réel strictement positif.
Je dois étudier la fonction f(t) et trouver les points fixes (cad f(t)=t)

j'ai pense à utiliser la fonction f'(t) après les calculs je trouve :
f'(t)=(6t^4+6t^2-6at)/((3t^2+1)^2) mais ça ne m'avance pas vraiment même si je factorise avec 6t :triste:

Même problème avec f(t)-t = (-t^3+a-t)/(3t^2-1) :briques:

[NICO 97]

Il vaut mieux, je pense, mettre f(t)-t au même dénominateur.

[rounox]

tu veux dire mettre :
f(t)-t = 1 / ((-t^3+a-t)*(3t^2-1)) ?

[bay-z]

tu as qu'à mettre f'(t)=0 et tu résous l'équation et tu auras le point fixe ou s'annule la fonction c ça ce que tu cherches?

[rounox]

si je mets f'(t)=0 j'aurais 6t^4+6t^2-6at=0 mais en fait même si je factorise en 6t j'aurais une fonction du 3me degré ... (car jee ne peux pas factoriser par 6t^2 car j'aurais un terme en -a/t) :triste: tu penses que je devrais faire un changement de variable , ça revient au même non ?

[anima]

si je mets f'(t)=0 j'aurais 6t^4+6t^2-6at=0 mais en fait même si je factorise en 6t j'aurais une fonction du 3me degré ... (car jee ne peux pas factoriser par 6t^2 car j'aurais un terme en -a/t) :triste: tu penses que je devrais faire un changement de variable , ça revient au même non ?

Une équation du 3e degré, ca se résout. Va-donc voir la méthode de Cardan (et la généralisation de celle-ci)

[rounox]

sinon est ce que je peux mettre :
6t^4+6t^2-6at = t^4+t^2-at = (t-a)^2 + (t^2+1)^2 -2t -1 -a^2 ,
ou mettre 6t^2(t^2+1-a/t)=0 et résoudre cette équation ? (je ne sais pas si c'est juste en fait de résoudre cette derniere si j'ai un terme en a/t ?)

[bay-z]

j'aimerai savoir si le signe ^ veut dire la multiplication ?(vaut mieux la noté en *) apart si c'est la forme d'un reste dune division euclidienne!!!! donc c'est ^ exemple ( 5^7=1 , 5 et 7 sont premier entre eux c'est à dire le reste de la division euclidienne est egal à 1)

[NICO 97]

Il faut, en effet, priori, appliqué la méthode de Cardan au polynome x^3+x-a que l'on cherche à annuler
Comme le delta est positif, il y a une unique solution (ça on pouvait le voir avec un tableau de variation mais pour calculer la dite solution, on applique la formule de Cadan
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

delta = a^2+4/27 qui est positif

[rounox]

Pour bay-z : ^ en fait c'est pour les puissances : x^2= x au carré

[rounox]

C'est bon , j'ai trouve les points fixes , par contre comment montrer que la suite Un tel que : Un+1 = f(Un) est une suite bornée et monotone ? (eventuellement convergente ? )

avec f(t)= (2t^3+a)/(3t^2+1)

[NICO 97]

Mais qu'as tu trouvé comme points fixes?

[rounox]

j'ai trouve un point fixe unique t0 tel que t0= racine cubique de (a/2)
le soucis avec la methode de cardan est que je trouve deux racines u et v mais ça reste très générale comme solution (t=u+v) avec u = racine cubique (a+ (racine carré de a + 4/27)/2) et v = racine cubique (a- (racine carré de a + 4/27)/2)

Sinon pour la suite Un+1 = f(Un) je n'arrive pas trop à démontrer la convergence car je sais qu'elle n'est pas monotone mais avec la récurrence je bloque un peu :triste:

[rounox]

voila le résultat auquel j'ai abouti :
Par hypothèse, (U0) est positif, donc U1 = f(U0) est positif, donc U2= f(U1) est positif... et de proche en proche, la suite est à termes positifs. On peut voir que U1 ( (0,a)est maximum) .

or t> t'0 implique f(t) tt

On en déduit que la suite va osciller autour de la valeur , en s'en rapprochant de plus en plus.
En conclusion, la suite n'est pas monotone mais elle est convergente et bornée. (si a = t'0alors est une suite constante qui est monotone). :mur:

[NICO 97]

Ta fonction est donc décroissante entre 0 et (a/2)^(1/3) puis est croissante entre (a/2)^(1/3) et +infinie.
Si donc Uo est entre (a/2)^(1/3) et +infinie, et que U1Mais si Uo est entre 0 et (a/2)^(1/3), comme f est décroissante, il va te falloir regarder les sous suites pairs et impaires , montrer quelles sont adjacentes, et quelles ont alors même limite, ce sera alors aussi (a/2)^(1/3)

ps : comment as tu trouvé "(a/2)^(1/3)" sans Cardan?

[NICO 97]

et que U1<Uo (je n'ai pas vérifié cela)

Finallement j'ai vérifié.

[rounox]

En fait la fonction s'annule une seule fois en t0 = racine cubique (a/2) après j'ai fait une étude de signe , j'ai essayé avec la méthode de cardan mais comme je ne connais pas trop , j'ai tout de même trouver deux racines comme j'ai posté avant mais après je ne sais pas comment continuer ...

Sinon pour la suite , est ce qu'on peut procéder par récurrence ?

[NICO 97]

Sinon pour la suite , est ce qu'on peut procéder par récurrence ?

Pourquoi ne pourait on pas?
Si tu veux montrer que Un est décroissante et minoré, tu peux le faire de plusieurs maniére, mais si f est croissante et que U1<U0 alors on voit tout de suite que Un est décroissante et comme tu a trouvé un point fixe, elle est minoré, et le point fixe ne peut-être que la limite.

[rounox]

Pour la récurrence est ce qu'on utilise la stabilité de [t'o,a] avec t'o le point fixe ?
j'ai pensé à utiliser Un+1 - Un = -g(Un) <0 mais je bloque à ce niveau :briques:

[NICO 97]

Alors fait plutot:U1 f(U1)