Exercice: défie.

[Crasher]

Bonjour,
J'ai un défie de mathématiques dont je ne trouve pas la solution, j'espère que vous pourrez m'aider.

Voici l'exercice:
ABC est un triangle équilatéral.Le cercle rouge, inscrit dans ABC, a pour rayon 3.
Les cercles verts sont tangents au cercle rouge et aux cotés de ABC.
Quel est le rayon de chaque cercle vert.

Voici un dessin (réalisé avec paint, désolé ^^):



J'ai essayé de m'appliquer mais c'est pas facile.
Merci d'avance pour votre aide, Crasher.

[Clembou]

Bonjour,
J'ai un défie de mathématiques dont je ne trouve pas la solution, j'espère que vous pourrez m'aider.

Voici l'exercice:
ABC est un triangle équilatéral.Le cercle rouge, inscrit dans ABC, a pour rayon 3.
Les cercles verts sont tangents au cercle rouge et aux cotés de ABC.
Quel est le rayon de chaque cercle vert.

Voici un dessin (réalisé avec paint, désolé ^^):



J'ai essayé de m'appliquer mais c'est pas facile.
Merci d'avance pour votre aide, Crasher.

Meilleure visualisation :

[Darko]

par symétrie du triangle équilatéral, tous les cercles verts ont le meme rayon.

Soit D le milieu de BC, AD est une médiane, mais aussi une bissectrice de ABC (puisqu'il est équilatéral) donc essai de placer le centre G du cercle rouge sur AD...
Je veut dire trouve a tel que DG=a*DA

Le cercle vert est aussi un cercle inscrit, mais dans quel triangle?

[Clembou]

par symétrie du triangle équilatéral, tous les cercles verts ont le meme rayon.

Soit D le milieu de BC, AD est une médiane, mais aussi une bissectrice de ABC (puisqu'il est équilatéral) donc essai de placer le centre G du cercle rouge sur AD...
Je veut dire trouve a tel que DG=a*DA

Le cercle vert est aussi un cercle inscrit, mais dans quel triangle?

En fait le cercle vert est inscrit dans le triangle AB'C' (par exemple) en considérant B'C' sur la droite tangent au cercle rouge passant par le point D' (intersection de la médiatrice passant en A et du cercle rouge).

Si on considère les triangles inscrits par les cercles verts, leur base partage la base du grand triangle équilatéral en 3. On a ainsi que le cercle vert inscrit dans le petit triangle rectangle est 9 fois plus petit que le cercle rouge. Or : le cercle rouge a un rayon de 3 cm donc le cercle vert a un rayon de 1/3 cm.

EDIT : j'entends par base du triangle équilatéral (sur ma figure) le côté qui est horizontal.

[Crasher]

Merci beaucoup pour ta figure ainsi que ta solution Clembou !
Merci à toi aussi darko :)

Je rédige ma réponse avec la solution de Clembou, je posterai ce que sa donne:p

[Crasher]

Bonjour,

Désolé pour le double post mais je ne comprend pas bien ton explication à partir des bases du cercle.

Merci d'avance, Crashx

[Darko]

Fais un dessin: Un triangle ABC equilatéral, D le milieu de BC, B' et C' les points de AB et AC tels que B'C' soit parrallèle à BC et tangente au cerle vert.

Que peut-on dire du triangle AB'C'?

[Crasher]

Bonjour,

Finalement j'ai trouver une autre solution avec les médianes, car j'ai trouvé un théorème assez sympa.
Voici ma démonstration:

Le rayon du cercle inscrit rouge=3cm.
La hauteur AA' est à la fois une hauteur et une médiane car dans un triangle équi. les hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices sont confondues.
Dans un triangle équilatéral, les médianes se coupent au centre de gravité (que j'ai appelé G) et celui-ci divise les médianes en 1/3 de la base et 2/3 du sommet (fameux théorème ).
D'où H=2/3*9+1/3*9
=6+6/2
=9cm.

Conclusion:
-Diamètre du cercle rouge=2/3*9=6cm
H du triangle dans lequel est inscrit un cercle vert=H triangle ABC-Diamètre du cercle rouge inscrit.
=9-6=3cm.
De même, le centre du cercle inscrit vert est situé à 1/3 de la base de la hauteur et 2/3 du sommet de celle-ci.
Rayon du cercle vert: 3cm*1/3=1cm.

(merci à darko pour ceci): Par symétrie de triangle équilatéral, on peut dire que les 3cercles verts ont le même rayon, donc tous les cercles verts ont un rayon de 1cm.

C'est bon ?

[Crasher]

Je fais remonter le sujet ^^

[Darko]

Oui, c'est bien ça qu'il faut utiliser!!

Mais le théorème que tu as utilisé peut être démontré si tu est en 1ère et que tu as vu les barycentres...

[Crasher]

Non je suis en seconde donc je ne preferre pas démontrer le théorème