Parabole nombre de points?

[jver]

Bonjour. Pendant que je suis dans les paraboles, une question probablement simplissime.

On trouve (cf les messages "parabole?") la parabole tangente à 4 droites données. Mais, comme la parabole est tangente à la droite à l'infini, cela signifie donc qu'on cherche une conique dont on connaît 5 tangentes.

Par dualité (?) la question de faire passer une conique par 5 points est de même nature.

Maintenant, si je prends deux paraboles, je peux les positionner de manière à ce qu'elles se coupent en 4 points. Donc, pour ces quatre points, il n'y a pas une parabole unique et il faut ajouter un 5° point. Mais si j'ajoute le 5° point, je peux tracer une unique conique qui n'a aucune raison d'être une parabole.

Donc, pour une parabole 4 points, c'est pas assez, 5 points, c'est trop.

Je dois, j'imagine, dire quelque part, une horreur! Mais où et laquelle?

Merci à ceux qui peuvent me donner une indication.

[cesar]

Maintenant, si je prends deux paraboles, je peux les positionner de manière à ce qu'elles se coupent en 4 points..

essayes de faire passer 2 paraboles par 4 points fixés et tu verras ton erreur...

pour determiner une parabole, si ma memoire est bonne, il suffit de 3 points...

[jver]

Ah non, je ne pense pas.
Trois points, c'est pour une parabole d'axe vertical (ou horizontal, ou de pente donnée). (par exemple: y=ax^2+bx+c, 3 paramètres)

Du coup, en fait, je pense avoir la solution (?), ou un morceau d'icelle.

En fait, par 4 points, il y a un faisceau de paraboles; Si je prends deux paraboles d'axes de directions différentes, je peux les faire couper en 4 points.
Par cinq points, il n'y en a pas, sauf cas miraculeux, car la conique n'est généralement pas une parabole.

Mais cela me turlupine toujours. Il me semblait me rappeler que un point ou une droite tangente c'était pareil. Si mes souvenirs sont exacts, cela signifierait que par 4 point et la droite à l'infini tangente, je peux faire passer une parabole. Or ce serait faux, puisqu'il y en aurait plusieurs?

[Maxmau]

Ah non, je ne pense pas.
Trois points, c'est pour une parabole d'axe vertical (ou horizontal, ou de pente donnée). (par exemple: y=ax^2+bx+c, 3 paramètres)

Du coup, en fait, je pense avoir la solution (?), ou un morceau d'icelle.

En fait, par 4 points, il y a un faisceau de paraboles; Si je prends deux paraboles d'axes de directions différentes, je peux les faire couper en 4 points.
Par cinq points, il n'y en a pas, sauf cas miraculeux, car la conique n'est généralement pas une parabole.

Mais cela me turlupine toujours. Il me semblait me rappeler que un point ou une droite tangente c'était pareil. Si mes souvenirs sont exacts, cela signifierait que par 4 point et la droite à l'infini tangente, je peux faire passer une parabole. Or ce serait faux, puisqu'il y en aurait plusieurs?

De mémoire (donc méfiance)
Les coniques passant par 4 points donnés constituent un faisceau
Si D est une droite donnée, elle coupe toute conique du faisceau en 2 points m et m' qui sont en involution. Cette involution m --->m' admet 2 points fixes I et J.Il existe donc 2 coniques du faisceau tangentes à D (en I et J).
Lorsque D est la droite de l'infini, cela montre que le faisceau contient 2 paraboles (en général).

[usul]

En fait par cinq point non aligné trois à trois (je veux dire que par trois choisis au hasard dans ces 5 points on ne peut jamais faire passer une droite) passe une et une seule parabole. Pour la démonstration considère la base (A, AB, AC) de R² et après ça vient bien. Enfin si tu veux la démonstration compléte n'hésite pas.

En revanche si il existe une droite passant par trois points (appelons A, B et C) il y a plein de cas possible : une droite si les 5 points sont alignés, 2 droites parallèles si 4 points sont alignés ou si la droite (DE) est parallèle à la droite (AB)=(AC) sinon dals les autres cas ben faut voir mais je pense que alors on a que des coniques dégénérés.

Voila

PS si quelque chose n'est pas clair n'hésite pas à le dire je suis pas sur de l'avoir été.

[jver]

[quote="usul"]En fait par cinq point non aligné trois à trois (je veux dire que par trois choisis au hasard dans ces 5 points on ne peut jamais faire passer une droite) passe une et une seule parabole. Pour la démonstration considère la base (A, AB, AC) de R² et après ça vient bien. Enfin si tu veux la démonstration compléte n'hésite pas.



Je ne comprends pas bien; Si je prends 5 points, il passe une conique unique (si les points sont "généraux"). Cette conique n'est en général pas une parabole.
Peux-tu me donner la démonstration complète, stp (ce n'est pas un exercice que j'aurais à faire, juste le plaisir!!)

[Maxmau]

En fait par cinq point non aligné trois à trois (je veux dire que par trois choisis au hasard dans ces 5 points on ne peut jamais faire passer une droite) passe une et une seule parabole. Pour la démonstration considère la base (A, AB, AC) de R² et après ça vient bien. Enfin si tu veux la démonstration compléte n'hésite pas.



Je ne comprends pas bien; Si je prends 5 points, il passe une conique unique (si les points sont "généraux"). Cette conique n'est en général pas une parabole.
Peux-tu me donner la démonstration complète, stp (ce n'est pas un exercice que j'aurais à faire, juste le plaisir!!)

Par 5 points (avec les restrictions habituelles) passe une conique et une seule (et non pas une parabole).
D'après mon précédent message, par 4 points passent (en général) 2 paraboles.

[usul]

j'ai effectivement dis une grosse bétise :briques: désolé c'est bien une seule conique et non une seule parabole :briques:

[jver]

Par 5 points (avec les restrictions habituelles) passe une conique et une seule (et non pas une parabole).
D'après mon précédent message, par 4 points passent (en général) 2 paraboles.

S'il en passe 2, il n'en passe un faisceau ? (uP+vP') ?

[Maxmau]

S'il en passe 2, il n'en passe un faisceau ? (uP+vP') ?

sauf dans le cas où 2 paraboles au même point à l'infini, le faisceau engendré par ces paraboles ne contient d'autre parabole que les 2 de départ (voir précédente explication)
exemple: Le faisceau engendré par les paraboles y =x² et x =y² ne contient pas d'autre parabole (facile à vérifier)