salut, je propose quelque chose:
soit
comme f est continue sur
, elle l'est sur le compact [-T;2T].
La fonction f est donc uniformément continue sur [-T;2T]
Donc
tel que
 \in [-T;2T]^2, \|x-y\|\le \eta \Longrightarrow \|f(x)-f(y)\|\le \epsilon)
(*)
Soit
)
(
est strictement positif car
et T le sont)
Soit
\in \mathbb{R}^2)
tels que
Supposons que l'on ait
Il existe
tel que
T[)
Soit maintenant
et
On a:
1)
donc comme
)
, on a
et
2)
et comme
, on a
.
Finalement,
\in [-T,2T[)
Nous avons donc deux réels x' et y' tels que
et
Donc en vertu de (*), on a
-f(y')\|\le \epsilon)
soit
-f(y-kT)\|\le \epsilon)
Par périodicité de f on arrive à
-f(y)\|\le \epsilon)
Finalement, on a montré que
,
, tel que
\in \mathbb{R}^2)
,
-f(y)\|\le \epsilon)
Donc f est uniformément continue sur
bye
:happy2:
