Polynôme annulateur

[Pierrot75]

Bonjour à tous,
J'ai un problème dans un exo. On a une matrice M carrée d'ordre 3 et on a montré que M²=3M. On en déduit donc (grâce au polynôme annulateur) que sp(M) est inclus dans {0,3}.

Mais à la question suivante, la consigne est "Déterminer les valeurs propres de M et les sous-espaces propres associés." J'ai bien compris que 0 et 3 sont des valeurs propres possibles, mais je me demandai s'il y avait une méthode autre que la réduite de Gauss ( M - lambda I).

Une fois que l'on connaît les valeurs propres possibles, que doit-on faire pour trouver les valeurs propres? Y'a t'il une méthode générale évitant la réduite de Gauss ?




Merci d'avance pour votre aide.
Pierre.

[XENSECP]

sans autres infos ?

[Pierrot75]

Si, on nous donne la matrice M.

Mais ma question est d'ordre général, c'est pour cela que je n'ai pas jugé utile de vous donner M.

Je voulais juste savoir si l'on est obligés de chercher les valeurs propres de M comme d'habitude alors que la question précédente nous a fait chercher les valeurs propres possibles.

[XENSECP]

Oh ba je juge pas utile de répondre !
non mais sans déconner, oui c'est en trouvant le Ker de M- x.Id que tu trouve les sous-espaces propres... bien sur dans certains cas ça se voit mais sans matrice sous le nez c'est pas évident de t'aider + ...

[Pierrot75]

Le truc c'est que c'est un brin calculatoire de faire la réduite de Gauss, c'est pour cela que je me suis demandé s'il ne valait pas mieux faire autrement.

M n'a que des 1 sur la diagonale. Dans la première colonne, il y a donc 1, b/a et c/a.
Dans la deuxième colonne, on a: a/b, 1 et c/b.
Dans la troisième colonne, on a: a/c, b/c et 1.

Donc selon toi on n'y coupe pas à cette méthode ?

[Joker62]

Je pense que t'as mal compris la question...

Apparemment, il possède un polynôme annulateur X(X-3)
On sait que le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur donc il est de la forme X, X-3 ou X(X-3)

S'il était de la forme X, celà voudrait dire que M = 0
S'il était de la forme X-3, celà signifierait que M = 3I

Et si on a aucun de ces cas, on aurait que le polynôme minimal vaut X(X-3)
Et donc que ces valeurs propres sont 0 et 3

[Pierrot75]

Oui mais ça ce ne sont que les valeurs propres possibles ie potentielles.

Mais quid des valeurs propres de M? On ne peut rien en déduire ?

[Joker62]

les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres de ta matriceMais j'crois c'est pas au programme des prépas le Polynôme minimal j'me trompe :^) ?

[nonam]

Si si, c'est bien au programme de spé.

[Pierrot75]

les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres de ta matriceMais j'crois c'est pas au programme des prépas le Polynôme minimal j'me trompe :^) ?

Pour ma part, tu ne te trompes pas puisque je suis en prépa éco :zen:

Donc, pour résumer, à mon niveau, je ne peux faire aucun lien dans mon exo entre valeurs propres possibles et valeurs propres ?