Polynome minimal et caractéristique

[djin_djin]

Bonjour,
Imaginons que l'on ait la matrice suivante :

1 0 5
0 1 7
0 0 2

Le polynome caractéristique de cette matrice sera (1-X)²(2-X).
On sait que le polynôme minimale divise le polynome caractéristique donc Pmin =
soit (1-X) soit (1-X)² soit (2-X) soit (1-X)(2-X) soit (1-X)²(2-X)
Comment savoir à quoi il est égal ?

[yuki]

une méthode simple : tu reprends les coeff du polynôme caractéristique et tu retire les puissances : ici çà fait (1-X)(2-X)
(le polynôme minimal est le plus petit polynome annulateur de ta matrice et il engendre tous les autres polynômes annulateurs)

[Apeiron]

Déjà, P min a les mêmes racines que P car, donc ici il ne peut être que (X-1)²(X-2) ou (X-1)(X-2), et à noter qu'on le définit souvent unitaire, donc attention aux coefficients.

P min est le générateur des polynômes annulateurs.
Donc il faut que tu regardes ta matrice A et calculer (A-I)(A-2I), si cela donne 0 alors P min est (X-1)(X-2). Sinon, c'est (X-1)²(X-2).

[ThSQ]

une méthode simple : tu reprends les coeff du polynôme caractéristique et tu retire les puissances : ici çà fait (1-X)(2-X)
(le polynôme minimal est le plus petit polynome annulateur de ta matrice et il engendre tous les autres polynômes annulateurs)

A moins que je comprenne pas ce que tu dis yuki, c'est faux : le poly min n'est pas forcément le poly carac "sans les puissances". C'est forcément un multiple de celui-ci mais peut être différent. Exemple simple : matrice nilpotente.

[yuki]

A moins que je comprenne pas ce que tu dis yuki, c'est faux : le poly min n'est pas forcément le poly carac "sans les puissances". C'est forcément un multiple de celui-ci mais peut être différent. Exemple simple : matrice nilpotente.

je suis d'accord, c'est pour çà que j'ai retiré mon msg (désolée^^)

[djin_djin]

Déjà, P min a les mêmes racines que P car, donc ici il ne peut être que (X-1)²(X-2) ou (X-1)(X-2), et à noter qu'on le définit souvent unitaire, donc attention aux coefficients.

P min est le générateur des polynômes annulateurs.
Donc il faut que tu regardes ta matrice A et calculer (A-I)(A-2I), si cela donne 0 alors P min est (X-1)(X-2). Sinon, c'est (X-1)²(X-2).

D'accord merci :happy2: