On considère la fonction f définie sur R par f(o)=1 et, pour x différent de 0, f(x)=x/(e(x)-1)
1a) Montrer que f est continue sur R.
2 fonctions continues sur R donc le produit des 2 estforcément continue sur R
b) Calculer f'(x) pour x non nul
j'ai trouvé f'(x) = (e^x-1-e^x*x)/(e^x-1)^2
c)On note g la fonction définie sur R par:
g(x)=e(x)-xe(x)-1.
Etudier les variations de g, puis le signe de g.
En déduire, pour tout x non nul, le signe de f'(x).
g'(x) positif sur - infini 0 et négatif sur 0 + infini
le signe de f'(x) est négatif
d) Donner les variations de f.
f est strictement décroissante sur R
2a) Justifier, pour tout réel x, l'existence de:
H(x)=intégrale de x à 2x de t/(e(t)-1) dt.
On définit ainsi une fonction H sur R.
On appelle Gama sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Je ne vois pas comment il faut faire...
b) Soit F une primitive de f sur R.
Exprimer H au moyen de F.
En déduire que H est dérivable sur R.
Montrer que, pour tout x non nul on a:
H'(x)=(x/(e(2x)-1)*(3-e(x))
H'(x)= 2 F'(2x)-F'(x)
par contre je n'arrive aps à retrouver H'(x) , je trouve e^x-1-e^x*x/(e^x+1)^2
c)Etudier les variations de H.
H(x) croissant sur - infini 1 et décroissant sur 1 +infini
3a) Montrer en utilisant l'inégalité de la moyenne que, si x est non nul, H(x)/x est compris entre f(x) et f(2x) (distinguer les cas x>0 et x<0)
pour x>0 je trouve f(x)
b)Déterminer la limite de H(x) lorsque x tend vers +infinie.
je trouve 0 mais je ne sias pas comment la justifier
c)Déterminer la limite de H(x)/x lorsque x tend vers -infinie. En déduire celle de H(x) en -infinie.
Je trouve + infini
d) Interpréter les résultats pour la courbe Gama.
Je ne vois aps ce que cela montre...
4) Quelle aire représente H(ln3)?
Déterminer un encadrement de H(ln3) par la méthode des rectangles, en utilisant la subdivision:
(ln3;4/3ln3;5/3ln3;2ln3)
On utilisera des valeurs approchées à 10^-3 près des images par f des termes de la subdivision donnée.
5) Donner, en tenant compte des résultats précédents, le tableau des variations de H, puis l'allure de Gama.
Pour la 4) et la 5) je n'ai aucune idée nous avons vu rapidement en cours la méthode des rectangles mais ici je ne comprends pas comment il faut procéder
merci pour votre aide
bonne soirée