Ev et dimension

[fripouille16]

Bonsoir j'aurais besoin d'un coup de main pour un exo svp

j'ai f une application de R^3 ds R^3 : (x,y,z) ->(2x+y-z , x+2y+z , et je dois résoudre l'équation f(x,y,z)=(1,-1,1) ds R^3 puis en déduire que Im f = R^3

je trouve que l'équation n'a pas de solution mais je ne vois pas comment en déduire que Im f = R^3

qqn pourrait-il m'aider ?

par ailleurs je dois mq Im f et Ker f sont supplémentaires dans R^3

Or j'ai trouvé que dim Ker f = 1 et comme dim R^3 = 3 on a dim Im f = 2 alors comment Im f peut etre égal à R^3 ??

merci d'avance pr votre aide et bonne soirée à tous

[Nightmare]

Bonsoir

Plusieurs chose :

1) Il te manque une composante dans f(x,y,z)

2) Si l'équation n'admet pas de solution, penses-tu vraiment que Im(f) peut être égal à R^3 ?

3) Si Im(f)=R^3 on ne peut pas avoir Dim(Ker(f))=1 bien sûr.

[fripouille16]

oups la dernière composante c'est -x +y+2z


en résolvant le système 2x+y-z=1
----------------------x+2y+z=-1
-----------------------x+y+2z=1
j'obtiens

-x+y+2z=1
y+z=1
y+z=0

il n'y a donc pas de solutions non ?

[Nightmare]

Effectivement ton système n'a pas de solution.

Erreur d'énoncé?

[Nightmare]

Oui il doit y avoir une grosse erreur d'énoncé.

Le vecteur (1,-1,1) forme une base de ton noyau.
L'image est donc un plan vectoriel (dont je te laisse trouver une base )

[fripouille16]

Oui il doit y avoir une grosse erreur d'énoncé.

Le vecteur (1,-1,1) forme une base de ton noyau.
L'image est donc un plan vectoriel (dont je te laisse trouver une base )

ok je me disais bien qu'il devait y avoir une erreur qq part

merci bcp pr votre aide