Calcul de sommes classiques

[Brunix]

Bonsoir
Je suis nouveau sur ce forum et je m'adresse à tous ceux qui pourraient me donner un coup de main.
Papa d'une fille en 1ère S je bloque sur une démonstration dont voici l'énoncé.

Déterminer un polynôme P de degrés 2 vérifiant pour tout x : P(x+1)-P(x)=x
Jusque là OK : P(x) = 1/2x(x-1)
Là où tout se gâte, c'est qu'il faut en déduire que : 1+2+3+...+n = 1/2n(n+1)
;) J'y arrive en utilisant l'astuce des 2S (écriture dans un sens + écriture dans l'autre sens puis addition membre à membre ...) mais à partir de du polynôme P ... je cale.

Merci d'avance ... pour moi et ... pour ma fille

[quinto]

Déterminer un polynôme P de degrés 2 vérifiant pour tout x : P(x+1)-P(x)=x
Jusque là OK : P(x) = 1/2x(x-1)

Bonsoir,
ici on a x=p(x+1)-p(x)
donc 1=p(2)-p(1)
2=p(3)-p(2)
...
n-1=p(n)-p(n-1)
n=p(n+1)-p(n)

si on somme à gauche, on trouve la somme demandée, c'est à dire 1+2+...+n
si on somme à droite, tous les termes vont s'annuler 2 à 2, sauf les termes extrêmes, qui sont -p(1) et p(n+1).
On va alors avoir p(n+1)-p(1) = somme des n premiers entiers
p(n+1)=n(n+1)/2
p(1)=0
donc la somme cherchée est n(n+1)/2.

On peut généraliser cette idée à la somme des n^k, pour k entier fixé, en cherchant non plus un polynôme de degré 2, mais de degré k+1.
Bonne soirée
A+

[Brunix]

Un grand merci pour votre réponse à mon pb d'hier soir.

En vous souhaitant une excellente journée.

Bruno