Fonction réciproque

[Tassadar]

Bonjours,

Je suis en PCSI.
f(x) = 1/sin(x)

J'ai montré que la fonction f est inversible sur [-pi/2,pi/2] \ {0}.Sa réciproque est continu strictement décroissante.
Je voulais étre sur que son ensemble de définition et son ensemble de continuité soit R \ {0} et que son ensemble de dérivabilité soit R \ (kpi/2} k app a Z

Merci

[Anonyme]

Hum ... Comment peut elle etre continue en un point ou elle n'est pas definie, je pense quel est continue sur R \ (kPI/2) k appartient a Z

[LN1]

attention,

il s'agit de 1/sin(x) et non 1/ cosx

définie, continue et dérivable sur

[Tassadar]

Variation de f entre pi/2 et -pi/2

_________| -pi/2____0_____pi/2 |
f= 1 / sinx |-1____-oo||+oo___1|

Sur [-pi/2 pi/2]-{0}, f est bien bijective car strictement décroissante et continu.

Sa réciproque est continu et décroissante sur [-pi/2, pi/2]-{0}.

Ce que je n'ai pas bien compris c'est comment on trouve l'ensemble de définition , de continuité et de dérivabilité de la fonction g (fonction réciporque).

[LN1]

La réciproque n'est pas définie sur [-pi/2 ; pi/2] - {0}

en prenant la réciproque, l'ancien ensemble d'arrivée : ]- oo ; -1] U [1 + + oo[ devient le nouvel ensemble de départ.

si f est continue, strictement monotone de [-pi/2; pi/2]-{0} à valeurs dans ]- oo ; -1] U [1 + + oo[ alors sa récproque g est continue strictement monotone de ]- oo ; -1] U [1 ; + oo[ à valeurs dans [-pi/2; pi/2]-{0}

de plus g est dérivable en tout point de la forme f(a) à condition que la dérivée en a ne s'annule pas

la dérivé de 1/sin(x) s'annule en - pi/2 et pi/2, f(pi/2) = 1 et f(-pi/2) = -1
donc la fonction g est dérivable en tout point sauf en 1 et -1

[Tassadar]

j'ai compris ! Merci beaucoup.