Calcul de puissance d'une matrice

[mostdu95]

bonsoir
soit la matrice suivante :
A= 1/3 1/2
1/2 1/3
calculer en fait je l'ai decomposer et je trouve A= 1/3(I2+N) avec
N = 0 2/3
2/3 0
et puis j'utilise laformule du binome mais j'arrive pas à expliciter la somme en terme de matrce
aidez moi et merci

[MathMoiCa]

Salut,

Tu peux diagonaliser la matrice, c'est encore plus simple :we:

-> cherche les valeurs propres



M.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:





A partir de là le calcul des puissances de N sont faciles :



etc...

[NICO 97]

????

[mostdu95]

Nightmare]Bonsoir :happy3:





A partir de là le calcul des puissances de N sont faciles :



etc...

C'EST PLUTOT 9/4 ;
et

[mostdu95]

on a donc
et
mais en fait le but c'etait de montrer que la matrice tend vers la matrice nulle
comment je peux conclure

[NICO 97]

on a donc
et
mais en fait le but c'etait de montrer que la matrice tend vers la matrice nulle
comment je peux conclure

ne tend pas vers 0 donc il y a surement une erreur.

[emdro]

Bonjour,

diagonalise ta matrice, comme te l'a conseillé MathMoiCa.

Sinon, si tu tiens absolument à prendre cette méthode, écris plutôt dès le départ
Tu auras N²=I, mais les calculs ne sont pas simples, et ce n'est probablement pas ce qu'on attend de toi.

[mostdu95]

Bonjour,

diagonalise ta matrice, comme te l'a conseillé MathMoiCa.

Sinon, si tu tiens absolument à prendre cette méthode, écris plutôt dès le départ
Tu auras N²=I, mais les calculs ne sont pas simples, et ce n'est probablement pas ce qu'on attend de toi.

merci d'abord pour votre reponse mais ça veut dire quoi diagonaliser la matrice ?? et ça correspond a quoi les valeurs propres..??

[emdro]

Ah... Que fais-tu comme études?

[Joker62]

Et là, c'est le drame...
Reste plus que la méthode Nightmare :)

[emdro]

Hello Joker,

c'est vraiment le drame... C'est pas très sympa la somme des C(n,k)*(1/2)^k*(1/3)^(n-k) pour k pair, et pour k impair...!

Et qu'est-ce qu'une matrice qui tend vers la matrice nulle pour Most du 95?

[NICO 97]

bonsoir
soit la matrice suivante :
A= 1/3 1/2
1/2 1/3
calculer en fait je l'ai decomposer et je trouve A= 1/3(I2+N) avec
N = 0 2/3
2/3 0
et puis j'utilise laformule du binome mais j'arrive pas à expliciter la somme en terme de matrce
aidez moi et merci

J'imagine que I2 est la martrice identité, alrsr la décomposition est fausse.
2/9 est différent de 1/2

[NICO 97]

Je ne crois pas qu'en appliquant le binome de Newton avec la décomposition:
A=1/3I+1/2B tu ais beaucoup de difficultés.
La méthode reste de conjecturer une relation de récurrence, et ensuite de la vérifier ...par récurrence.

[mostdu95]

J'imagine que I2 est la martrice identité, alrsr la décomposition est fausse.
2/9 est différent de 1/2

oui oui en fait j'avais bien fait tout mes calculs pour
N= 0 3/2
3/2 0
c'est juste ds mon premier post que je me suis trpe

[NICO 97]

Pas facile
J'ai juste pu montrer , avec le binome de newton que A^n=
(an bn)
(bn an)
et an+bn=(5/6)^n
Comme quoi diagonaliser c'est plus simple.

[NICO 97]

On peux aussi remarquer que A^2=2/3A+5/36I
Alors P(X)= X^2-2/3X-5/6 est un polynome annulateur de A (P(A)=0)
Alors, si on divise X^n par P ,X^n=PQ+R, on voit que A^n=R(A) , et les coefficients de R dépendent de n.

[NICO 97]

Encore une petite chose
R(X)= aX+b et si les racines de P sont r1,r2 on a que
(r1)^n=ar1+b
(r2)^n=ar2+b

[emdro]

On peut toujours utiliser les formules:

[emdro]

Du coup, en posant
on a N²=I
et






D'où