DM math: limite d'une suite

[niki112]

Bonjour,

j'ai un exercice sur la limite d'une suite à faire, et je suis bloqué.
Voici l'énoncé:

Déterminer la limite de la suite (un) définie par :

Code: Tout sélectionner

Un= (1-1/2^2) (1-1/3^2) (1-1/4^2) .... (1-1/n^2)

Pour le moment je tourne en rond et je n'avance pas...

Merci pour votre aide,

Niki

[rene38]

Bonjour

Il ne doit pas être très difficile de montrer qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant par un réel compris strictement entre 0 et 1 et donc ...

[raito123]

Si c'est un DM alors il doit y avoir un enchainement de question , non?

[niki112]

non, il y a uniquement marqué ce que j'ai mis... (déterminer...)

mais a vrai dire je ne vois toujours pas vraiment comment faire... :mur:

[Omar]

Bon tu remarques bien que Un s'écrit sous la forme suivante :
Un= la somme des 1-1/k² pour k variant de 2 jusqu'à n !!
Donc là tout d'abord tu commence par encadrer cette somme :
pour ça tu as k compris entre 2 et n donc 1-1/k² est compris entre 3/4 et 1-1/n² et là tu passe à la somme ça te donne :
la somme des 1-1/k² pour k variant de 2 jusqu'à n est comprise entre (3/4)(n-1) et (1-1/n²)(n-1) , et étant donné que :
la limite de (3/4)(n-1) égale à plus l'infini
et la limite de (1-1/n²)(n-1) = plus l'infini
donc la limite de Un est égale à plus l'infini vu qu'elle est comprise entre deux suites dont les limites sont égales à plus l'infini .

[raito123]

Ce n'est pas une somme mais plutôt une suite de produit !!

[raito123]

Si ce que t'as écrit est juste alors on peut utiliser exp(ln(Un)) et on trouvera la limite + infini aussi

[Omar]

ah oui c'est vrai désolé je croyais qu'on avait à faire à une somme .

[PONFIA]

Bonsoir. Je suppose que t'es en terminale S. Tu procéder de la manière suivante.
.
Maintenant, si t'arrives à trouver un nombre réel strictement inférieur à tel que , alors ta suite va converger vers .
Let's go !
Après avoir remarqué que ne s'annule jamais, tu obtiens successivement : .

Tu as donc trouver un . Un théorème de comparaison du cours te dis alors que ta suite converge elle aussi vers . Youpi !!

Ps3. En utilisant cette méthode ("comparaison d'une suite avec une suite géométrique"), tu pourras par exemple montrer que la suite de terme général converge vers 0.


Cordialement.