Egalité de parties décimales Réelles.

[denis007]

J'aimerais poser une question qui m'a posé beaucoup de problèmes, et à laquelle je n'ai jamais réussi à trouver de solution satisfaisante.

En analyses, ne dit t'on pas que 0.89999999...... = 0.90000....... ?
J'imagine que si on se permet de poser les choses ainsi, c'est que cela n'entraine pas de contradiction dans les théories analytiques ? On défini donc 2 réels par la limite de deux suite différentes, et on les défini comme identiques dés lors que les deux suites ont même limites.

Comment se fait t'il qu'on se permette de faire cela, alors que le procédé diagonal de cantor repose précisément sur l'évidence que 0.89999.... différe par une infinité de décimale de 0.90000... et est donc nécessairement différent ?

Par ailleurs, je suis principalement très supris de rarement trouver évoqué le procédé diagonal partout on l'on affirme l'égalité, et de ne pas trouver évoquée l'égalité analytique partout on l'on traite du procédé diagonal.

De mon point de vue, cette contradiction illusoire entre ces deux approches est vraiment difficile à gérer lorsque l'on est pas mathématicien soit même.

[alavacommejetepousse]

bonjour

je ne suis pas certain de comprendre les expressions théories analytiques et égalité analytique


dans le procédé diagonal on s 'arrange justement pour que les développements soient propres à savoir que les décimales ne soient pas toutes égales à 9 àpartir d'un certain rang .

[denis007]

bonjour

je ne suis pas certain de comprendre les expressions théories analytiques et égalité analytique


dans le procédé diagonal on s 'arrange justement pour que les développements soient propres à savoir que les décimales ne soient pas toutes égales à 9 n=àpartir d'un certain rang .

Cela fonctionne également en base 2. L'avantage en base 2, c'est qu'il n'y que des 1 et des 0.

Tu peux lister tous les développement de la partie décimale en base 2, de la manière suivante :

S(n) :
n=1 : 0.1
n=2 : 0.10
n=3 : 0.01
n=4 : 0.11
etc
(en fait il suffit de coller un nombre entier après le 0.)
ensuite si tu appliques le procédé diagonal de cantor, tu obtiens simplement un nombre qui n'est pas dans la liste infinie sus-cité. Car il différe de chaque nombre par au moins une décimale. Mais la suite générée par le développement du nouveau nombre (1 décimale, puis 2, puis 3 etc) converge puisque croissante et bornée par 1. Cela converge nécessairement vers l'une des valeurs d'adhérence de S(n) puisque tous les réels de ]0,1[ sont valeurs d'adhérence de S(n).

D'où ma question.

[alavacommejetepousse]

en base 2 c'est plus problématique car si par hasard la n ième décimale du n ième nombre listé vaut en permanence 0 , le nombre construit hors liste aura toute ses décimales égales à 1 et on aura en fait un nbre déjà listé

la preuve ne marche pas bien ainsi avec 2 (avec 3 oui )

[denis007]

en base 2 c'est plus problématique car si par hasard la n ième décimale du n ième nombre listé vaut en permanence 0 , le nombre construit hors liste aura toute ses décimales égales à 1 et on aura en fait un nbre déjà listé

la preuve ne marche pas bien ainsi avec 2 (avec 3 oui )

Cela étant, tout nombre peut s'écrire aussi en base 3, 10, ou 2. N'importe quelle base est donc bonne à priori 2 aussi bien qu'une autre.

[alavacommejetepousse]

j'avoue être perplexe
que cherches tu ?

tu commences par parler de développement en base 10 , le procédé ne pose aucun problème
puis tu évoques la base 2 , la c'est plus délicat à faire

je ne sais pas quoi dire de plus

[denis007]

j'avoue être perplexe
que cherches tu ?

tu commences par parler de développement en base 10 , le procédé ne pose aucun problème
puis tu évoques la base 2 , la c'est plus délicat à faire

je ne sais pas quoi dire de plus

Je donnais la base 10 comme exemple.

Mais tu peux construire la suite S(n) équivalente en base 10 :

1->0.1
9->0.9
10->0.01
121->0.121
987->0.789
ect

là encore cette suite admet pour valeurs d'adhérences tous les réels de ]0,1[
tu peux bien sur construire ton nouveau réel avec le procédé diagonal et le choisir tel que les décimale ne sont pas 9 ni 0, mais la encore la suite de développeement à 1 décimale, 2 decimale etc de ce nouveau nombre est convergente dans ]0,1[. Et converge vers une valeur d'adhérence de la suite initiale.

Donc la situation semble différente, mais elle est bien sûr identique. C'est juste plus facile de percevoir les choses en base 2.