Suites majorées, minorées!

[pitchou]

Bonjour à tous,
J'ai rarement le temps de passer sur le forum malgré que je sois inscrite depuis pas mal de temps, mais volà j'ai un gros problème et j'ai pensé que je pourrai trouver un peu d'aide auprès de vous. Voilà mon DM à rendre pour mardi:

Exercice 1:

Avant tout, j'imerai préciser que je n'utilise pas souvent l'ordinateur et que je ne sais pas utiliser le latex. Je vous pris donc de bien vouloir m'xcuser de la mise en page de mes énoncés que je vais faire!


Enoncé: On considère la suite (µn) définie par:

{µo=3
{µn+1= 1-1/2 µn
et on définit la suite Vn par:
Vn= |µn-2/3|

1) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a:
Vn+1= 1/2 Vn.
J'ai réussi à le démontrer.

2)Déterminer le sens de variation de la suite (Vn), puis un majorant de cette suite.
J'ai trouvé qu'elle est décroissante et comme elle est décroissante, je trouve comme majorant son terme initial Vo= 7/3.

3)En déduire que la suite (µn) est bornée; en donner un majorant et un minorant.
Par contre là je ne sais pas quoi conclure puis que je trouve pour:
µo=3
µ1=-3/2
µ2=3/4
µ3=-3/8
µ4=3/16
µ5=-3/32
et ainsi de suite.... Je ne sais pas comment prouver qu' elle est bien bornée car on a jamais eu d'exemple en classe,pour tout dire on en a jamais fait.

Exercice2:

Soit la suite (µn) définie, pour tout entier naturel non nul, par:
µn= 1/n(n+1).

a)Déterminer le sens de variation de (µn).
Je trouve qu'elle est décroissante mais je ne suis pas sûre car il y'a toujours des "n" au dénominateur. est-ce que ça pose probleme?
A partir de là je ne sais pas comment continuer, j'y arrive plus. Je sais que c'est peut être trop demandé mais je ne sais pas vers qui d'autre me retourner. Je vous remercie d'avance de votre grande aide.

b)Montrer que, pour tout entier n non nul, µn peut s'écrire sous la forme:
µn= (a/n) + (b/n+1)
où a et b sont deux nombres que l'on détérminera.

c)On pose, pour n>1: ( n supérieur ou égal à 1)
Sn= µ1+µ2+...+µn.
Exprimer Sn en fonction de n.
Quel est le sens de variation de la suite (Sn)?

d)Monter que la suite (Sn) est bornée.

e)Calculer en fonction de n la différence:
Tn= 1-Sn.
Ap artir de quelle valeur de n a-t-on:
0 < (strictement supérieur à) Tn < (supérieur ou égal à) 10^-2

Combien la suite (µn) possède t-elle- de termes n'appartenant pas à l'intervalle [0,99;1]?

Voilà, c'est tout l'énoncé.
Je vous remercie encore une fois de votre aide et n'hésitez pas à me corriger si vous avez encore un peu de votre temps à me consacrer car je sais que c'est pas facile d'en touver! Même moi je galère pour trouver du temps pour me reposer. C'est que je suis nulle et je prends beaucoup de temps pour faire mes devoirs. Qui croirait que je suis en S ?
Bonne journée!

Fanny^_^.

[Sa Majesté]

Exercice 1
Si µn > 2/3 alors Vn=µn-2/3 soit µn=Vn+2/3
Or Vn < 7/3 donc ...

Si µn < 2/3 alors Vn=-µn+2/3 soit µn=2/3-Vn
Or Vn < 7/3 donc ...

Au final µn est bornée par ...

[Monsieur23]

Bonjour,

Pour le premier exercice, tu as Vn < 7/3

Donc pour tout n, |µn - 2/3| < 7/3
Donc pour tout n, -7/3 < µn - 2/3 < 7/3

Tu ajoutes 2/3 à ton inéquation, et le tour est joué !

Pour le deuxième exercice, qu'est ce que tu veux dire par "il y'a toujours des "n" au dénominateur." ? Sinon, oui, elle est bien décroissante.

Pour la question suivante, il faut que tu mettes au même dénominateur a/n + b/(n+1), et que tu identifies les coefficients avec 1/(n(n+1))

[pitchou]

Exercice 1
Si µn > 2/3 alors Vn=µn-2/3 soit µn=Vn+2/3
Or Vn < 7/3 donc ...

Si µn < 2/3 alors Vn=-µn+2/3 soit µn=2/3-Vn
Or Vn < 7/3 donc ...

Au final µn est bornée par ...

Tu veux dire qu'au final µn est bornée par [3;-5/3]???

[pitchou]

Pour le deuxième exercice, qu'est ce que tu veux dire par "il y'a toujours des "n" au dénominateur." ? Sinon, oui, elle est bien décroissante.

Pour la question suivante, il faut que tu mettes au même dénominateur a/n + b/(n+1), et que tu identifies les coefficients avec 1/(n(n+1))

Je trouve pour le deuxième exercice:
a) µn+1-µn= -2/n(n+1)(n+2) < 0 ; et ce n'est pas grave??

b) a/n + b/n+1= a(n+1)/(n(n+1)) + bn/(n(n+1))
= (an+a)/(n(n+1)) + bn/(n(n+1))
Et après je n'arrive pas à factoriser avec n et déterminer a et b.

[Monsieur23]

Si c'est pas trop tard : c'est bon pour le 1 !

Pour le 2 : de chaque côté de ton égalité, les termes en "n" au numérateur doivent être égaux, et les termes constants aussi.
En bref, a+b=0 et a=1

[pitchou]

Merci beaucoup pour ton aide, et oui j''ai réussi à trouver et à rendre à temps!!! :biere: sauf que je n'ai pas trouvé pour le e) mais c'est pas grave!
En tout ca, merci de votre aide à tous les deux et à la prochaine!!!
A plus,
Fanny :we: