Condition suffisante

[chipie01]

Bonjour,
soit G l'ensemble des fonctions f continues et dérivables telles que quel que soit t réel, f'(t)>0
et quel que soit t f(t+2pi)=f(t)+2pi
On a montré qu'alors la dérivée de f appartenant a G est 2Pi périodique.

On nous demande, réciproquement, si h est une fonction continue et 2Pi périodique de R dans R+* de donner une condition suffisante pour qu'il existe f appartenant a G telle que f'=h

J'en ai déduit que f' est positive puisque h est a valeurs dans R+* mais il ne s'agit pas de la condition suffisante.
Je me demande si la condition suffisante ne serait pas f(t+2Pi)=f(t)+2Pi
et si tel est le cas comment le montrer?
Merci pour votre aide

[Alpha]

Salut, chipie,

la condition doit évidemment porter sur h, pas sur f. Tu ne connais pas f, tu disposes juste de h, et tu veux trouver une condition sur h qui soit suffisante pour qu'il existe f dans G telle que f'=h.

Une condition suffisante pour qu'une proposition P soit vérifiée, c'est tout simplement une condition qui, lorsqu'elle est vérifiée, entraîne que P est vérifiée.

Alpha+

[chipie01]

Oui pardon c une condition sur h évidemment mais encore faut il la trouver cette condition!
Enfin je vais continuer a chercher un peu en te remerciant pour ton aide!

[azerty31415926535]

Donner une condition suffisante sur h, cest trouver un exemple de fonction h qui vérifie : il existe f dans G tel que f'=h.

Prenons pour h la fonction constante 1.
On a alors h est continue, strictement positive sur R et 2 Pi périodique.

En fait, 2 Pi est une des périodes de h, plus exactement tout réel est une période de h, car h est constante. Réciproque?

Prenons maintenant la fonction identité.
Elle appartient à G, et de plus sa dérivée est h, cad 1.


On a donc construit un exemple de fonction qui marche, une condition suffisante est : pour tout t de R, h(t) = 1.

NB: La fonction f n'est pas unique (l'énoncé ne l'impose pas), ici la famille de fonctions fk(t)= t + k, k réel, convient car fk'(t)=1 et fk(t) est dans G.

Question ouverte : cette condition sur h est elle nécessaire? (Je ne sais pas :p).