Polynomes...!!!hum

[mostdu95]

bonjour
soit la suite de sturm suivante: et pour tout k>0 est le reste de la division euclidienne de par

1)dire pourquoi p et p' ne peuvent pas avoir les memes racines et montrer que deux polynomes consecutifs de la suite de sturm n'ont pas les memes racines
en fait dans un exemple je le vois tres bien mais je sais pas comment le montrer dans le cas general...
aidez moi et merci d'avance.

[remullen2000]

il faut que p n'ait que des racines simples...sinon x^3 et 3x^2 ont les meme racine!

Supposons que p est n racines simple x1 x2 x3 ...xn.alors on peut ecrire

P(x)=(x-x1)(x-x2)....(x-xn)Q(x) ou Q est un polynome tel que

deg(Q)+n=deg(P). et Q(xi) different de 0 pour tout "i".

alors P'(xi)=(xi-x1)(xi-x2)...(xi-x_(i-1))(xi-x_(i+1))....Q(xi) different de 0...

donc p et p' n ont pas les memes racines!

ensuite par recurrence, on montre que si pk et pk+1 n ont pas les meme racines alors pk+1 et pk+2 aussi...

si xi est une racine de pk+1, on a que

p(k+2)(xi)=p(k+1)(xi)Q-pk(xi)

=-pk(xi) qui n'est pas nul par hypothèse de recurrence...