Petite question sur matrice de passage

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pouik
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Petite question sur matrice de passage

par pouik » 28 Mar 2008, 21:05

Bonsoir,
Cela fait déjà plusieurs mois (oui oui je blague pas, plusieurs mois !!) que j'essaye de résoudre cette toue petite question mais j'ai beau regarder la correction, je ne comprends. Saurez-vous m'expliquer ? Merci d'avance.

Soit A la matrice 2x2 [(2,-5);(1,-2)].
Montrer que A est semblable à M(0,1) = [(0,-1);(1,0)] et donner une matrice P de M_2(R) à coefficients entiers et de déterminant égal à 1 telle que M=P^-1AP.



alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 28 Mar 2008, 21:09

bonsoir

en écrivant que A est la matrice de f dans la base (e1,e2)

il faut trouver une base (e'1,e'2) telle que M soit la matrice de f dans cette base

pouik
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par pouik » 28 Mar 2008, 21:13

Oui, en fait ca j'y arrive :
il faut que et .
Mais le problème c'est qu'une fois écrit ca je suis complètement perdu. JE ne vois absolument pas quoi faire !! :cry: :cry:

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 28 Mar 2008, 21:18

essaye avec e'1 = e1 et e'2 = f(e1)

pouik
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par pouik » 28 Mar 2008, 21:23

mais que dois je faire avec ceci ? Et comment savez vous que ?

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 28 Mar 2008, 21:25

ça marche ou pas ?

pouik
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par pouik » 28 Mar 2008, 21:29

Non désolé je n'y arrive pas du tout, je ne comprends pas ce que je dois faire à partir de votre message de 19h18. Désolé....

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 28 Mar 2008, 21:57

le polynôme caractéristique est

X^2 +1

donc f^2 = -id

f n'a pas de valeur propre réelle

pour tout x non nul

(x,f(x)) est libre

donc en prenant x quelconque non nul
en posant e'1 = x , e'2 = f(x)

(e'1,e'2) est une base

de plus f(e'2) = f^2 (e'1) = -e'1

et la matrice de f dans cette base est bien M
et M = P^^(-1) AP
l'énonce impose une contrainte supplémentaire
on veut det P = 1 donc on ne peut choisir x n'importe comment

sans faire une recherche systématique on "voit" que x = e1 convient

pouik
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par pouik » 28 Mar 2008, 22:13

Ce n'est pas du fait que f^2 = -Id qu'on en déduit le polynôme caractéristique ?

"le polynôme caractéristique est

X^2 +1

donc f^2 = -id"

Sinon je comprends votre raisonnement mais je ne vois toujours pas comment obtenir ma matrice P. Vraiment désolé ! :briques:

ffpower
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par ffpower » 28 Mar 2008, 22:14

Tu en est a quel nv sur les matrices?t as vu les poly cara?Cayley Hamilton?de la diagonalisation?

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 28 Mar 2008, 22:20

en taille 2

X^2 -tr(A) X +det(A) est le polynôme caractéristique

il se détermine sans effort

pouik
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par pouik » 28 Mar 2008, 22:32

ffpower a écrit:Tu en est a quel nv sur les matrices?t as vu les poly cara?Cayley Hamilton?de la diagonalisation?


oui oui jai vu tout ca

Mais je m'excuse encore mais j'ai beau chercher je ne vois pas comment déterminer P avec tout ce que vous m'avez donner.... :briques:

abcd22
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par abcd22 » 29 Mar 2008, 01:47

Bonsoir,
Au lieu d’utiliser des théorèmes compliqués, on peut faire les calculs « bêtement » comme si on ne connaissait pas le polynôme caractéristique etc. :
on pose .
Par définition, les colonnes de la matrice de passage contiennent les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne, ce sera donc avec mes notations .
On écrit les conditions imposées :
1)
2)
3)
4) entiers.
Les deux premières conditions donnent 4 équations à 4 inconnues , on résout, on trouve un ensemble de solutions qui dépendent de deux paramètres, on écrit la troisième condition en fonction de ces paramètres, et on choisit une solution entière (inutile de résoudre complètement l’équation) de l’équation obtenue pour déterminer les 4 inconnues.

pouik
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par pouik » 29 Mar 2008, 10:41

Bonjour,
Je dois etre un cas désespéré, car je ne vois pas comment obtenir mes quatre équations.

abcd22 a écrit:Les deux premières conditions donnent 4 équations à 4 inconnues , on résout, on trouve un ensemble de solutions qui dépendent de deux paramètres, on écrit la troisième condition en fonction de ces paramètres, et on choisit une solution entière (inutile de résoudre complètement l’équation) de l’équation obtenue pour déterminer les 4 inconnues.

abcd22
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par abcd22 » 29 Mar 2008, 18:26

La première condition s’écrit , par définition de la multiplication de matrices par un vecteur, c'est la même chose que;):

et on fait pareil avec la deuxième condition.

 

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