Barycentre 1 ère S

[lapetitebosse]

Bonsoir :we:

Et bien j'ai un exercice à faire mais que je ne comprend pas du tout.

ABC est un triangle rectangle en A. I est le milieu de [BC], T est le cercle de centre A passant par I. G est le point de T diamétralement opposé à I.

Voici les questions:

¤Prouvez que le point G est le barycentre de (A,4), (B,-1), et (C,-1).
¤Trouvez deux réels a et b tels que A est le barycentre de (G,2), (C,a), (B,b).
¤Quel est l'ensemble des points M du plan tels que: ((2MG+MB+MC)) = 2 ((BC))??


merci d'avance en espérans que vous m'aiderai

[lapetitebosse]

Toujours personne pour m'aider?? je sais que sa ne se fait pas de dire sa...
mais j'ai vraiment besoin de votre aide svp :'(

[Huppasacee]

Bonsoir

Peux tu essayer de déterminer les coordonnées de G dans le repère
A , AB vecteur unitaire en abscisses, AC vecteur unitaire en ordonnées
Et aussi celles du barycentre de la première question ? Si les coordonnées sont les mêmes, alors G est ce barycentre

[lapetitebosse]

Bonsoirs,

Alors vectoriellement sa corrsepond à: 4GA-GB-AC=0

[Huppasacee]

Peux tu exprimer AI en fonction de AB et AC ?

Puis comme G est diamétralement opposé à I , cela veut dire que A et le milieu de GI ou que AI = - AG (en vecteurs)

[lapetitebosse]

En utilisant Chasle, on obtient:

GB=GA+AB
GC=GA+AC

[lapetitebosse]

En fait on obtient:
2GA-AB-AC=0
donc maintenan Il suffit d'isoler GA d'un coté de l'égalité, et de faire passer AB et AC de l'autre côté et sa donne: 2GA=AB+AC

Est-ce bon??

[Huppasacee]

En fait on obtient:
2GA-AB-AC=0
donc maintenan Il suffit d'isoler GA d'un coté de l'égalité, et de faire passer AB et AC de l'autre côté et sa donne: 2GA=AB+AC

Est-ce bon??

Jusque là c'est bon , mais il faut exprimer AB + AC en fonction de GA

Il faut pour cela exprimer AB+AC en fonction de AI

puis AI en fonction de AG

[lapetitebosse]

Ok alors voici ce que j'ai trouvé:

2GA=AB-AC
GA=(AB+AC)/2
or GA=AI donc AI=(AB+AC)/2

[lapetitebosse]

Mais pour la suite de l'exercice...

[Huppasacee]

Bon alors
prenons un autre départ

Dans tous les cas , si I est le milieu de BC , alors pour tout point M

MB + MC = 2MI
Cela est toujours vrai , et tu dois t'en souvenir
Appliquons le pour le point A

AC +AB = 2 AI

Maintenant utilisons le fait que G est diamétralement opposé à I dans le cercle T

A est donc le milieu de GI

AG+AI = 0

donc GA = AI
On remplace AI dans la première égalité , puis on décompose AC et AB en utilisant le point G

[Huppasacee]

Pour la deuxième question :

Nous avons vu que

AC +AB = 2 AI
et que
GA = AI

En remplaçant, nous avons une relation entre AG, AB et AC

donc nous avons les coefficients demandés


Pour la dernière question , utiliser le fait que :

si K est le barycentre des points A , a ; B , b ; C , c

c'est à dire que aKA + bKB + cKC = 0

alors pour tout point M
aMA + bMB + cMC = (a+b+c) MK

Ici le barycentre en question sera A

[lapetitebosse]

Pour la deuxième question :

Nous avons vu que

AC +AB = 2 AI
et que
GA = AI

En remplaçant, nous avons une relation entre AG, AB et AC

donc nous avons les coefficients demandés


Pour la dernière question , utiliser le fait que :

si K est le barycentre des points A , a ; B , b ; C , c

c'est à dire que aKA + bKB + cKC = 0

alors pour tout point M
aMA + bMB + cMC = (a+b+c) MK

Ici le barycentre en question sera A

Merci beaucoup , je vai aller pouvoir dormir tranquillement maintenant.