Bonjour
Je souhaiterais avoir votre avis sur la rédaction que je fais dans cet exercice. Est elle correcte et rigoureuse ?
De plus, dans la question 1) je suis bloqué sur la réciproque
je suis parti sur une idée mais est ce la bonne ?
Merci pour votre aide
Soit E un espace vectoriel possédant une base (i ;j) formée de 2 vecteurs st soit les 2 vecteurs :
u=ai+bj et v = ci+dj avec a,b,c,d des réels.
1) Démontrer que les vecteurs u et v engendrent E ssi le déterminant D cest adire ad-bc est différent de zéro.
2) En déduire que lon à léquivalence entre les énoncés suivants :
(a) (u ;v) est une base E
(b) u et v engendrent E
(c) u et v sont indépendants
pour la question 1)
sens direct : si le déterminant est non nul
soit w un vecteur qcq de E. puisque (i ;j) est une base de E, le vecteur w sécrit comme combinaison linéaire des vecteurs i et j.
donc w = ;) i + ;) j
formons le vecteur du-bv
du-bv = (da-bc) i + (db-bd) j = (da-bc) i = D i
ainsi i = (1/D) (du-bv)
de même en formant cu+av on trouve j = (1/D) ( -cu+av)
on en déduit que tou vecteur w de E est tq :
w = ;) (1/D) (du-bv) + ;) (1/D) ( -cu+av)
soit w = (1/D) (;)d-;)c) u + (1/D) (-;)b+;)a) v
u et v étant clairement des vecteurs de E on en déduit de légalité ci dessus quils engendrent E
réciproquement :
si u et v engendrent E alors un vecteur quelconque w de E est tq w = ;) u + ;) v
soit en remplaçant w = (;)a+;)c) i + (;)b+;)d) j
prenons deux vecteurs particuliers en posant ;) = 1 et ;)=0 (on retrouve u )
puis en posant ;) = 0 et ;)=1 (on retrouve v)
le déterminant est alors D=ad-bc
mais je suis bloqué pour dire quil est non nul ???