1ère S droite de simson

[lioubliana]

bonjour tout le monde

j'ai un petit problème avec un exercice de mon Dm de maths...je ne sais pas du tout par ou commencer :

propriété de la droite de simson: "Les pieds des perpendiculaires abaissés d'un point sur les cotès d'un triangle sont alignés si, et seulement si, ce point appartient au cercle circonscrit d'un triangle."

soit ABC un triangle, C le cercle circonscrit à ce triangle et S un point du cercle.
soit S1, S2 et S3 les projetés orthogonaux de S sur respectivement (AB), (BC) et (AC).
nous cherchons a prouver que S1, S2 et S3 sont alignés.

1) justifier que si S et sur un sommet du triangle ABC, alors S1, S2 et S3 sont sur une droite particulière à determiner.
On supposera alors dans la suite que S est sur l'arc defini par la corde [BC] ne comportent pas le point A et que S n'est pas en B ni en C.

2) prouver que les point A, S, S1 et S3 sont cocyclique

[Dr Neurone]

Bonjour Lioubliana , des soucis ?

Si S est en A par exemple , qulle est sa projection sur AB et sur AC ? Et sur BC ? Donc S appartient à quoi finalement ?

Eh bien tout simplement il sera sur la hauteur issue de A , ok ?
Donc si S est sur l'un des sommets du triangle il sera sur la hauteur issue de ce sommet ; çà va çà ?

[lapras]

Salut,
Pour la 1) je te laisse faire c'est tres basique , n'oublie pas de faire un dessin !
Pour la 2), tu peux montrer que le quadrilatere AS1SS3 est inscriptible en montrant que la somme des angles opposés est égale a pi ce qui est évident puisqu'on a fait les projetés et que pi/2 + pi/2 = pi
donc A, S , S1 et S3 cocycliques :happy2:

[lioubliana]

ok sa, ca va...

[lioubliana]

lapras : donc si on veut prouver que les points C, S, S1 et S3 sont cocycliques, c'est le meme principe, on fait la meme redaction ?

[Dr Neurone]

Euhhh ...quoi çà ?

[Dr Neurone]

AS3S est droit donc S3 est sur le cercle de diametre AS
AS1S est droit donc S1 ...
Conclusion?

Meme chose pour C,S,S1,S3

[lioubliana]

donc S1 est aussi sur le cercle de diamètre AS

[Dr Neurone]

oui, donc les 4 points appartiennent au cercle de diamètre AS.

[lioubliana]

ok merci beaucoup.