Des suites et des fonctions

[Yamtzr57]

Bonjour, je suis en première S
J'ai un DM et je vois pas comment m'y prendre

Sujet :
u et v sont deux suites définies à partir du rang n=1 par Un= sin1/n² + sin 2/n² +... + n/n² Vn= 1/n² + 2/n² + ... + n/n²

a) Montrer que pour tout n>= 1, Vn = (n+1)/2n
b) f, g, h sont les fonctions définies sur [0; +infini[ par :
f(x) = x-sinx; g(x)= -1+ (x²/6) + sinx
Etudier le sens de variation et le signe de chaque fonction f,g et h sur [0; +infini[
c) Démontrer que pour tout n>=1, Un==1, 1^3 + 2^3 +... + n^3 ==1, vN-1/6 * 1/n² =< Un
e) Indiquer un rang r à partir duquel :
Vn-Un =< 10^-4


Merci de votre aide.

[uztop]

Bonjour,

qu'est ce que tu as fait là dedans? Il y a quand même des questions faciles, ça m'étonnerait que tu n'aies rien trouvé du tout

[Yamtzr57]

Je ne sais même pas par où commencer pour démontrer la première question

[uztop]

est ce que tu as appris en cours combien vaut la somme des n premiers entiers:
1+2+...+n ?

[Yamtzr57]

On en a parlé avec la légende du gosse qui a trouvé en 2min 1+2+3....+100

Mais on l'a pas écrite dans le cours, je l'ai relu plusieurs fois

[uztop]

Oui, la légende c'est que Gauss a trouvé ça quand il était encore à l'école.
Donc
[FONT=Courier New] 1 + 2 + 3+...+98 +99 +100 (somme des 100 premiers entiers)
100+99+98+.. +3 + 2 + 1 (même somme dans l'autre sens)
-------------------------
101+101+101+..+101+101+101 = 100*101 (il y a 100 termes)[/FONT]

On a donc 2*(1+2+3+...+98+99+100) = 100*101
D'où (1+2+3+...+98+99+100) = 100*101/2

Plus généralement, la somme des n premiers entiers vaut n*(n+1)/2 C'est un résultat important qu'il faut connaitre.
Est ce que tu peux essayer d'appliquer ça ici ?

[Yamtzr57]

1+2+3+...+n
n+(n-1)+(n-2)+...+1
n+1 + n+1 + n+1 ... = n * (n+1)

Donc 2* (1+2+3+...+n) = n * (n+1)
D'où (1+2+3+...+n) = n* (n+1)/2

[uztop]

oui, maintenant il faut appliquer ce résultat à ton exercice

[Yamtzr57]

1/n² + 2/n² + 3/n² +...+n/n²
n/n² + (n-1)/n² + (n-2)/n² +... + 1/n²
(n+1)/n² + (n+1)/n² + (n+1)/n² +... (n+1)/n²

Donc 2*(1/n² + 2/n² + 3/n² +...+ n/n²) = n* (n+1)/n²
D'où (1/n² + 2/n² + 3/n²+...+n/n²= = (n²+n)/2n² = (n+1)/2n

[uztop]

Oui c'est ca. En fait le résultat somme de n premiers entiers = n*(n+1)/2 est un résultat du cours, ce n'est donc en principe pas la peine de le redémontrer.
Je t'ai redonné la démonstration tout à l'heure parce que tu m'as parlé de l'histoire de Gauss.
Bon maintenant, les études de fonctions, je pense que tu sais faire

[Yamtzr57]

Oui je vais me débrouiller pour la suite, merci de ton aide

[Yamtzr57]

Je bloque sur la question d), si quelqu'un peut m'éclairer merci