Determinant et geometrie !

[barbu23]

Bonsoir :
Soit .
Alors :
Alors je voudrai savoir ce que represente geometriquement le determinant de !
Merci infimiment !!

[E#Mc²]

Bonsoir :
Soit .
Alors :
Alors je voudrai savoir ce que represente geometriquement le determinant de !
Merci infimiment !!

D'abord, le determinant a un sens si n=m; pour signification geometrique,... il te permet de savoir si f isomorphisme ou non, y a une signifcation geometrique comme volume...

[barbu23]

Volume de quoi ?

[E#Mc²]

Volume de quoi ?

Cé pas tout a fait cela, mais si t'es interessé, le volume d une base est : Tu te donne un espace vect hermetien, et une base de cet espace, on definit le volume du parallelipipede formé par les vecteurs de base , par le determinant ... mais n oublie pas qu on besoin d espace hermitien (espace muni de produit scalaire ...)

[barbu23]

Meme si on change de base, le volume reste constant ? le determinant est independant de la base choisi ? parceque transforme la base initiale en une autre base !

[E#Mc²]

Meme si on change de base, le volume reste constant ? le determinant est independant de la base choisi ? parceque $\ f $ transforme la base initiale en une autre base !

Je te donne un exemple geometrique : considere le plan IR^{2}, dessine 2 vecteurs (non colinéaires) d origine 0, puis le parallelograme formé par ces deux vecteurs, l'aire c'est le volume . considere 2 autres vecteurs differents , il existe une application qui envoie les 2 premiers vect sur les 2 derniers, tu vois que le volume change

[barbu23]

Parfait, ton exemple convient très bien pour te poser la même question : la matrice de passe de la première base à la seconde, est ce que son determinant represente le volume par rapport à la premire base ou bien par rapport à la seconde ! et pourquoi l'une et pas l'autre ?
Désolé pour ces questions abruti, mais j'ai pas le choix !! :doh:

[E#Mc²]

Parfait, ton exemple convient très bien pour te poser la même question : la matrice de passe de la première base à la seconde, est ce que son determinant represente le volume par rapport à la premire base ou bien par rapport à la seconde ! et pourquoi l'une et pas l'autre ?
Désolé pour ces questions abruti, mais j'ai pas le choix !! :doh:

Il faut d'abord que tu te fixe une base dont le volume est un, par exemple la base : la base canonique , (je parle tjrs de IR^2 pour simplifier ), donc le pallelograme est un carré de coté 1, puis tu calculer le volume des autres bases par rapport a ce volume :: tu calcule la matrice de passege , son determinant est le vouluùme . Bonne soirée et a demain

[barbu23]

Une dernière question stp :
y'a-t-il un moyen de lier la theorie de l'integration et le calcul des determinant ! parceque c'est le même but : le calcul des volumes ! pour la theorie de l'integration, je parle des mesures de Lebesgue qui sert à calculer les volumes sur des pavés et n'importe quel domaine !
Merci pour ta patience !

[NICO 97]

Le déterminant d'une matrice (focément carré) se calcul avec les coefficients de la dite matrice par une formule (bien complexe).
Ce qui est interressant avec le déterminant, c'est que 2 matrices qui représenteront le même endomorphisme écrit dans 2 bases différentes, auront le même déterminant. Ceci nous permet de parler du déterminant d'un endomorphisme.
Les endomorphismes vivent en général dans Rn, mais lorqu'on est dans le plan, ou dans l'espace, le déterminant à le bon gout d'avoir une écriture avec des normes de vecteurs, et des sinus d'angles formé par des vecteurs. C'est ce qui fait qu'on peut l'utiliser pour calculer des airs ou des volumes.

Mais cela n'a rien à voir avec la théorie de l'intégration, en tout cas pas celle de Rieman ni de Lebesgues.

[NICO 97]

Volume de quoi ?

Tu peux lire cela pour mieux voir le lien avec l'aire et le volume:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=P2099EEBD7.1&+lang=fr&+module=U2%2Falgebra%2Fdocdet.fr&+cmd=reply&+job=read&+doc=1&+block=prodvect

[E#Mc²]

Le déterminant d'une matrice (focément carré) se calcul avec les coefficients de la dite matrice par une formule (bien complexe).
Ce qui est interressant avec le déterminant, c'est que 2 matrices qui représenteront le même endomorphisme écrit dans 2 bases différentes, auront le même déterminant. Ceci nous permet de parler du déterminant d'un endomorphisme.
Les endomorphismes vivent en général dans Rn, mais lorqu'on est dans le plan, ou dans l'espace, le déterminant à le bon gout d'avoir une écriture avec des normes de vecteurs, et des sinus d'angles formé par des vecteurs. C'est ce qui fait qu'on peut l'utiliser pour calculer des airs ou des volumes.

Mais cela n'a rien à voir avec la théorie de l'intégration, en tout cas pas celle de Rieman ni de Lebesgues.

Tu te trompe, c'est au contraire, il est lui a la theorie de l integrartion, quand tu integre une fonction disons sur IR^n, l'element de volume (le dx_{1}^dx_{2}^...dx_{n}) a ton avis c'est quoi? ... c'est un determinant,

[NICO 97]

Certes, lorqu'on fait un changement de variable dans une intégrale définit sur Rn, on utlise le déterminant. Mais je vois plus ça comme une des nombreuses utlisations du déterminant plutôt que comme une définition.

Mais il est vrai que le fameux dx utlisé dans les intégrales est un peu énigmatique.

[E#Mc²]

Certes, lorqu'on fait un changement de variable dans une intégrale définit sur Rn, on utlise le déterminant. Mais je vois plus ça comme une des nombreuses utlisations du déterminant plutôt que comme une définition.

Mais il est vrai que le fameux dx utlisé dans les intégrales est un peu énigmatique.

Oui, ca peut etre enigmatqiue si on est sur IR^n, mais ce n'est pas le cas sur une variete differentielle, (je reviens a IR^n, c'est une variété dont la forme volume est constante, cé pour cela qu on voit pas son role , ...on aimerais bien l enlever de la formule ... :lol5: