Etude de fonction ln

[jfbello]

Bonjour!
Voila j'ai un DM à faire pour le jeudi 27 mars et je n'y arrive pas du tout, si vous pouviez m'aider ce serai très sympathique de votre part. . .

Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur [0;+oo[ par :
¤ f(x)= x²(ln(x)-1) si x différent de 0.
¤ f(0)= 0

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i;j) du plan.

1.Démontrer que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0). Que peut-on en déduire ?
Ici j'ai fais lim(x->o) (f(x)-f(0))/(x-0)
2. Etudier la limite de f en +oo.
ici je trouve +oo

Et a partir d'ici je nage complètement, j'ai tenté la dérivé de f mais je trouve 2x(ln(x)-1)+(x²/ln(x)) en utilisant u'v+uv'...

3.a. Justifier que f est dérivable sur ]0;+oo[ et déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+oo[.
b.Etudier les variation de f sur [0;+oo[.

4.Dresser le tableau de variation de f sur [0;+oo[.

5.Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (C) et de l'axe des abcisses.

6.Déterminer l'équation réduite y=t(x) de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abcisse 1/(racine de (e)).

7.L'objet de cette question est l'étude de la position relative de (C) et (T). Pour cela, on considère la fonction h définie sur f sur ]0;+oo[ par : h(x)=f(x)- t(x).

a. Justifier que h est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer h'(x) pour tout x de ]0;+oo[.
b. Justifier que h' est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer h''(x) pour tout x de ]0;+oo[.
c. Etudier les variations de h' sur ]0;+oo[ et en déduire le signe de h'(x) sur ]0;+oo[.
d. Déduire de ce qui précède les variations de h sur ]0;+oo[ puis son signe (on pourra calculer h(1/(racine de (e)).
e.Conclure.

Si vous pouviez m'aider.... merci d'avance

[Jess19]

comment tu as dérivé ? expliques tes calculs

je vois ce que tu as fait tu as dit que

v(x) = lnx - 1
donc v'(x) = lnx

mais la dérivée de lnx c'est 1/x :mur: :hum:

[jfbello]

pour la dérivée j'ai fais (uv)'=u'v+uv' en prenant x² pour u et (ln(x)-1) pour v
cela me donne f(x)=x²(ln(x)-1)
f'(x)=2x(ln(x)-1)+x²*(1/ln(x))

[Jess19]

t'as vu ce que je t'ai écrit ?

[jfbello]

j'avais pas vu ^^
donc la dérivée de f(x) serai 2xln(x)-x . . .

[Jess19]

oui est tu factorises par x pour que tes calculs soient plus simples pour ton tableau de variations !

[jfbello]

pour mon tableau de variation je trouve que f(x) est décroissante de 0 à 1/2 et croissante de 1/2 à +oo . . . c'est ça ?

[Jess19]

heu pourquoi 1/2 ???

[jfbello]

x positif de 0 à +oo et ln(x) > 1/2 pourquoi ? c'est pas ça ?

[Jess19]

oui mais pour pouvoir mettre tes valeurs qui annulent dans ton tableau de variations il faut que exprimes x >= ... et non pas lnx >= ... sinon tu ne peux pas mettre cette valeur dans ton tableau de variations ! :marteau:

[jfbello]

ouai ... pas faut ... :briques:

mais je fais comment alors ? (je suis vraiment nul en maths . . . :triste: )

[Jess19]

tu passes aux exponentielles

[jfbello]

ok donc c'est décroissant sur ]0 ; ] et croissant sur [ ; +oo[

[Jess19]

oui ! ;) c'est ça !!!

[jfbello]

pour le point de coordonné avec l'axe des abcisses j'ai fais f(x)=0 et j'ai trouvé x=1/(ln(x)-1) car x différent de 0 ... c'est ça ?

[Jess19]

comment t'as fait?

[jfbello]

f(x)=0 soit x=0 mais c'est impossible
soit x²= 1/(ln(x)-1)
x=
x= 1/

[Jess19]

heu non !!
je vois pas pourquoi tu fais ça !
f(x) = 0 <=> x²ln(x-1) =0 <=> x² =0 (impossible) ou ln(x-1)= 0

[jfbello]

ouai, je suis con ...
x= e

pour le reste je fais y=t(x) et t(x)=f'(1/)(x-(1/))+f(1/) ?

[Jess19]

heu non pas x=e mais x = 2