Algèbre linéaire - démonstrations

[Linea]

Bonjour à tous !


Alors je commence l'algèbre linéaire ce semestre et j'aurai besoin d'un petit (gros!) coup de pouce pour des démonstrations (ou justifications plutôt) de propositions... Je bloque totalement sur des démonstrations d'assertions comme celles-ci, pourtant des exos du type démonstration que tel ensemble est un espace vectoriel j'y arrive plutôt bien ! Mais là j'avoue que les démonstrations ça n'a jamais été mon truc... :hum:

Je dois donc justifier ceci :

" un espace vectoriel ou un sous espace vectoriel n'est jamais vide "

"une intersection quelconque de sous-espace vectoriel n'est jamais vide "
=> peut-être qu'ici il s'agit juste de prouver que s'ils l'ont prend 2 sev, cela veut dire qu'ils contiennent forcément tous les deux le vecteur nul, donc une intersection contient également le vecteur nul ?

" 2 sous espaces vectoriels d'un même espace vectoriel ne sont jamais disjoints "

" Si F est un sous espace vectoriel de E, alors le complémentaire de F dans E ne peut pas être un sous espace vectoriel. "

"Montrer qu'une famille de 3 vecteurs est forcément liée. "


Voilà voilà mes problèmes... donc je ne sais pas si quelqu'un peut me mettre sur la voie ou me montrer comment il faut faire mais je lui en serai très reconnaissant !

Merci d'avance et bonne journée à tous.

[xyz1975]

Bonjour,
Pour l'intersection c'est bien l'élément neutre (c'est à dire le vecteur nul), il fait parti des deux sev donc à leur intersection, donc cette dérnière n'est jamais vide.

[xyz1975]

Pour ce qui est complémentaire, puisque ce dérnier ne contient pas le vecteur nul, il ne peut pas être un sev.

[ffpower]

Mouais, pour les 4 premieres,ca vient du fait que tout ev contient le vecteur nul,quand a la derniere,c faux..

[Linea]

Merci beaucoup déjà pour ces quelques réponses !

Par-contre je suis sûre que c'est une proposition vraie pour la dernière, il me semble même que je l'ai vue marqué dans des bouquins... elle ne m'est pas inconnue !

Je crois même qu'on peut faire la même chose avec 4 vecteurs dans R3... ^^

Sinon, est-ce que vous savez comment peut-on qualifier une famille contenant l'élement neutre de E ? Et même chose avec une famille contenant un seul élement de E ?

Merci d'avance, et bon WE ! :++:

[Antho07]

Ce que tu as du lire dans les bouquins c'est que une famille de trois vecteurs est forcement liée dans un espace vectoriel de dimension 2.

En faite, de maniere general , toute famille de vecteur contenant plus de vecteur que la dimension de l'espace est lié.

Mais si on a aucune condition sur la dimension de l'espace c'est faux.

Par exemple dans R^3

(1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) ne sont pas liés

ou dans R[X],

(1, X, X²) est libre