Orthocentre

[cece89]

Bonjour à tous!

ABC est un triangle rectangle en A.

Je dois démontrer qu'il existe un unique point M distinct de A tel que

MA.MC=0 et MA.MB=0 (il s'agit bien sûr de vecteurs)

Je ne sais pas comment m'y prendre pour débuter.
Dois je supposer l'existence de cet objet ou procéder par équivalence...

En vous remerciant

[m&ms]

....

Que représente l'ensemble des points M tels que MA.MB = 0 ????

Idem pour MA.MC ????

[bulldog]

tu as pensé à la relation de chales car tu sais que tes produits scalaires sont égaux à zéros essaye de les décomposer....(juste une idée)

[cece89]

Dans le repère, comme sur le shéma, on a les coordonnées suivantes :

A(0;0) B(1;0) C(0;1)

Disons que dans ce repère on a :

M(x;y)

alors
MA (-x;-y) MB(1-x;-y) MC(-x;1-y)
Il s'agit bien sûr de vecteurs

Les conditions sont que

MA.MB=0 -x+x^2+y^2=0
MA.MC=0 x^2+y^2-y=0

Il reste donc à résoudre le sytéme suivant

-x+x^2+y^2=0 x^2=x-y^2
x^2+y^2-y=0 x^2+y^2-y=0

donc x=y x=y
x^2=x-y^2 x^2=x-x^2

Si alors on aboutit au point A origine du repère . Dès lors, on peut supposer x différent de 0, et donc diviser la seconde équation par :

x=y donc x=1/2
2x=1 y=1/2

donc M est le milieu de l'hypothénuse

[m&ms]

Il faudrait peut être introduire B(b;0) et C(0;c) avec b et c des réels positifs, pour être plus général. Mais ça marche aussi avec ta méthode...

Un autre moyen de faire est le suivant:

L'ensemble des points M tq MA.MB = 0 est le cercle de diamètre AB

L'ensemble des points M tq MA.MC = 0 est le cercle de diamètre AC

Ces deux cercles s'intersectent en deux points : A ainsi que le point recherché

[cece89]

La réponse que j'ai proposée n'est valable que pour un triangle rectangle isocèle. Je n'arrive pas à la généraliser pour tout triangle rectangle...

merci d'avance

[m&ms]

Euh...Ca marche pas ce que j'ai donné??

[cece89]

les coordonnées de M sont (1/2;1/2) uniquement pour un triangle isocèle rectangle.

en utilisant b et c comme vous me l'avez conseillé, j'arrive à:

x=bx/c
x^2=bx-y^2

avec b et c deux rééls , ce qui ne me permet pas de montrer facilement que M est l'orthocentre...

pour revenir à votre méthode m2, elle me paraît très judicieuse mais comment puis je démontrer avec rigueur que le point d'intersection est un point de l'hypothénuse plus précisément l'orthocentre?




encore merci!

[m&ms]

Euh non je parlais de la deuxième méthode !

[m&ms]

Est-tu sûr de ce que tu veux obtenir, à savoir le point M comme orthocentre?

L'orthocentre est le croisement des hauteurs, c'est donc le point A, non??

[cece89]

je m'exprime peut être maladroitement, M est le point de concours entre la hauteur issue de A et l'hypothénuse.

[m&ms]

Jusque là, on a démontré existence et unicité du point M (on a montré qu'il y avait deux points d'intersection entre les 2 cercles dont A).

Soit M' la projection orthogonale de A sur BC (le pied de la hauteur quoi!)
M' vérifie M'A.M'B = 0 ainsi que M'A.M'C = 0 (vu que c'est la hauteur issue de A)

Vu que M est unique,M=M' ie le pied de la base issu de A.