Exercice sur les suites

[fabien27]

Bonjour. Je suis en première année de prépa EC (commerce), et j'ai un DM de maths à rendre pour la rentrée. Comme vous pouvez vous en douter, je bloque !!, et un peu d'aide serait bienvenu...

voilà l'énoncé :

J'ai montré à la question précédente que : si (Un)n>=no est une suite d'éléments de ]-1;+infini[ (respectivement IR) qui converge vers 0, ln(1+Un)~Un (respectivement (1-cosUn)~Un²/2 , sinUn~Un , (e^Un - 1)~Un ).

Aussi, j'ai ces propriétés : f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si pour toute suite (Un)n>=no d'éléments de A qui converge vers a, f(Un) converge vers l.

lim (x->0) ln(1+x)/x = 1
lim (x->0) sinx/x = 1
lim (x->0) (1-cosx)/(x²/2) = 1
lim (x->0) (e^x - 1)/x = 1

Enfin, la question est :

soit (Un)n>=1 = (n!)/(n^n). Montrer que lim (n->infini) U(n+1)/Un = 1/e.
En déduire que n! = o(n^n).
Montrer que pour tout a€IR*+, a^n = o(n!).

Pour la première partie de la question, j'ai calculé U(n+1)/Un = (n/n+1)^n.
J'ai essayé pas mal de mes idées, en essayant d'utiliser les propriétés à ma disposition, en vain...

Si vous pouviez m'aider, ou m'éclairer en me donnant quelques pistes...

Merci beaucoup.