Convergence de suite

[rounox]

bonjour , j'essaie de démontrer une convergence mais je n'y arrive pas trop
en fait je dois démontrer que si (Un) converge vers l1 et (Vn) converge vers l2 alors ;);) UkVn-k/n converge vers l1*l2

Quelqu'un a une idée ? (j'ai entendu parler du théorème de césaro mais je ne sais pas s'il y utilité de l'utiliser ici )

Merci

[alavacommejetepousse]

bonjour
même technique que dans césaro
découpage de somme

en notant Sn la somme
epsilon fixé
le N0 pour u qui va bien dans la définition
Le N1 pour v
pour n > N0+N1

fais rentrer L1L2 dans la somme
l Sn - L1 L2 l découpe la somme en 2 suivant k>=N0 ; ou k

[rounox]

merci de m'avoir répondu
j'ai essayé de faire cela :
Si (Un) converge vers L1 par définition
Soit epsilon>0 , il existe No appartenant à N(ensemble naturel) tel que | Un –L1| < epsilon/2
Donc pour tout n > No
|1/n ;)Uk –L1| = | 1/n ;) (Uk –L1)
=|1/n ;)(Uk- L1) + |1/n ;) (Uk –L1)| <= 1/n |;)(Uk –L1)| + |1/n (;)| Uk-L1|)
Or pour tout k>0 |Uk-L1| < epsilon /2
Donc
|1/n ;) (Uk –L1) | < epsilon
mais je ne l'ai fait que pour Uk , comment le faire pour ( la somme de Uk et Vn-K ) / n ?

[alavacommejetepousse]

il faut le faire directement pour le produit uv et comprendre que si

k >N0 on "utilise" u et si k n-N0 >N1 et on "utilise" v

quand on "n'utilise" pas une des deux suites on la borne froidement

[rounox]

voilà le résultat final que j'ai obtenu :

(je considere ;);) avec k=1 comme indice )
On note Sn = ;);)k=1 UkVn-k/n
Si (Un) converge vers L1 et (Vn) converge vers L2 alors :
Soit epsilon> 0 , il existe N0 tel que pour tout n>N0 |Un –L1| < epsilon /2
Soit epsilon> 0 , il existe N1 tel que pour tout n>N1 |Vn –L2| < epsilon /2
Pour tout n> N0 + N1
|1/n ;);)k=1 UkVn-k –L1L2| = |1/n ;);)k=1(UkVn-k –L1L2)| = | 1/n ;)(N0+N1 comme exposant ) k=1 (UkVn-k –L1L2) + 1/n ;);)k=NO+N1+1 (UkVn-k –L1L2)| <= 1/n |;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-k – L1L2 )| + 1/n [;);)k=NO+N1+1 |UkVn-k –L1L2|]

Or pour tout k> N0 |Uk – L1| < epsilon/2
Et pour tout k
|1/n ;);)k=1(UkVn-k –L1L2)| <= 1/n |;)(N0 comme exposant ) k=1 (UkVn-k –L1L2)| + |1/n ;);)(k=N0+N1+1 comme indice) epsilon/2 <= 1/n | ;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-l – L1L2)| + (n-N0-N1/n)*(epsilon/2)

Avec (n-N0-N1)/n < 1 et je pose K = ;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-l – L1L2)

Comme lim qd n tend vers plus l’infini de K/n = 0
Il existe N tel que pour tout n >0 |K/n| < epsilon/2
D’où : pour tout n> sup (N,N0,N1)
|1/n | ;);) k=1 (UkVn-l – L1L2)| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon

D’où Sn converge vers L1L2

(désolé pour l'écriture mais je n'ai pas pu faire autrement pour les indices et Les exposants )

Tu penses que c'est bon ?

Merci

[alavacommejetepousse]

tu as oublié de borner v dans la somme k >N0 et de borner u dans celle pour k < N0

[rounox]

soit
Sn = ;);)k=1 UkVn-k/n
Si (Un) converge vers L1 et (Vn) converge vers L2 alors :
Soit epsilon> 0 , il existe N0 tel que pour tout n>N0 |Un –L1| < epsilon /2
Soit epsilon> 0 , il existe N1 tel que pour tout n>N1 |Vn –L2| < epsilon /2
Pour tout n> N0 + N1
|1/n ;);)k=1 UkVn-k –L1L2| = |1/n ;);)k=1(UkVn-k –L1L2)| = | 1/n ;)(N0+N1 comme exposant ) k=1 (UkVn-k –L1L2) + 1/n ;);)k=NO+N1+1 (UkVn-k –L1L2)| <= 1/n |;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-k – L1L2 )| + 1/n [;);)k=NO+N1+1 |UkVn-k –L1L2|]

Or pour tout k> N0 |;);)k=1 UkVn-k/n – L1| < epsilon/2
Et pour tout k
|1/n ;);)k=1(UkVn-k –L1L2)| <= 1/n |;)(N0 comme exposant ) k=1 (UkVn-k –L1L2)| + |1/n ;);)(k=N0+N1+1 comme indice) epsilon/2 <= 1/n | ;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-l – L1L2)| + (n-N0-N1/n)*(epsilon/2)

Avec (n-N0-N1)/n < 1 et je pose K = ;)(N0 comme exposant) k=1 (UkVn-l – L1L2)

Comme lim qd n tend vers plus l’infini de K/n = 0
Il existe N tel que pour tout n >0 |K/n| < epsilon/2
D’où : pour tout n> sup (N,N0,N1)
|1/n | ;);) k=1 (UkVn-l – L1L2)| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon

D’où Sn converge vers L1L2

voila j'ai fait quelques modifications mais je ne sais pas si ce que je fais est juste ... :hein: