Loi binomiale

par **Vandi** » 13 Mar 2008, 16:39

Bonjour,

J'ai un petit problème au sujet d'une question:

La somme de deux variables aléatoires de lois respectives B(n,p) et B(m,q) avec p différent de q peut-elle être de loi binomiale?

J'ai beau cherché je ne vois pas, je suis sur que c'est évident pourtant!

Remarque: la loi de Z=X+Y est C(k,n+m)p^k(1-p)^((n+m)-k) (que l'on peut trouver facilement avec les fonctions génératrices)

C: coefficient binomiale

Merci

par **alavacommejetepousse** » 13 Mar 2008, 17:38

bonjour

la loi que tu donnes est pour p = q ( notation maladroite car q normalement est 1-p) ce qui se montre facilement en lançant une pièce n+m fois et encomptant les piles sur les n premiers lancers et sur les m derniers

si p et q (avec tes notations) sont différents la loi n'est pas binômiale.

par **Vandi** » 13 Mar 2008, 20:28

Je suis d'accord que si p=q c'est évident et que dans les notations de probabilités que q=1-p. Pourtant l'énoncé est bien écrit ainsi. Il faudrait alors juste dire que la loi n'est pas binomiale par cette condition imposée.

Merci

par **regis183** » 13 Mar 2008, 21:30

p(Z=z)=Somme(k=0..z ) C(z,k)p^k*(1-p)^(z-k) C(n+m-z,z-k)q^(z-k)*(1-q)^(n+m-2z+k)

Tu vois bien que tu n'as aucune chance de le mettresous forme du binome si p<>q

par **alavacommejetepousse** » 13 Mar 2008, 21:58

regis183 a écrit:p(Z=z)=Somme(k=0..z ) C(z,k)p^k*(1-p)^(z-k) C(n+m-z,z-k)q^(z-k)*(1-q)^(n+m-2z+k)

Tu vois bien que tu n'as aucune chance de le mettresous forme du binome si pq

quelques soucis dans les indices

par **regis183** » 14 Mar 2008, 00:00

peut être, je suis un peu fatigué la :dodo: allez bonne nuit à tous

par **Vandi** » 15 Mar 2008, 10:13

Pourtant si l'on prend q=0 la loi peut bien être binomiale?

Dans la question il y a les mots "peut-elle être de loi binomiale", pour moi ça signifie que pour certains cas ça marche, non? Si il y avait d'écrit à la place "est-elle binomiale" ,là je dirais non surement à coup sûr mais le "peut-être" est assez perturbant...

par **alavacommejetepousse** » 15 Mar 2008, 13:07

q= 0 la seconde variable est quasi certainement nulle donc en effet la somme est binômiale

de même n ou m nuls

par **Vandi** » 15 Mar 2008, 21:50

"La variable q est quasiment nulle" : vous voulez dire qu'il ne peut y avoir d'autre valeur pour que la loi soit binomiale, mais si c'est vrai coment le démontrer? c'est toujours ce "peut-être" qui me gène.

par **alavacommejetepousse** » 15 Mar 2008, 23:00

la question est peut être; la réponse est oui (à cause des cas évidents)

par **Vandi** » 18 Mar 2008, 18:50

Après réflexion je trouve que ce n'est pas possible. Pour p différent de q la loi n'est pas binomiale. (il suffit d'étudier les racines des polynomes des fonctions génératrices et d'utiliser un raisonnement par l'absurde)

Autre question: Comment montrer à l'aide des fonctions génératrices que si Z=X+Y est la somme de deux variables aléatoires entières indépendantes et si la loi de Z est binomiale alors les lois de X et de Y sont toutes deux binoimales de même paramètre p où n et m peuvent différer?

par **alavacommejetepousse** » 18 Mar 2008, 21:34

G1 ,G2, G3 les fonctions génératrices de X, Y, Z

on a G3 = G1G2 et G3 est un polynôme scindé avec une seule racine
donc G1 et G2 ?

par **Vandi** » 19 Mar 2008, 19:02

En faite le premier énoncé était faux comme je le pensais, j'en ai discuté pendant plusieurs jours avec des collègues et l'énoncé exact est pour p différent de q avec q et p srictement supérieur à 0.

Par contre pour le deuxième énoncé j'ai beau cherché je ne comprends pas...pouvez vous m'éclaircir, merci!

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2008, 19:24

G1(s)G2(s)= G3(s) = (ps+q)^r avec Z binomiale de paramètres r ,p

quelles peuvent être les formes de G1 et G2 sachant que ce sont deux polynômes ...?

par **Vandi** » 21 Mar 2008, 09:40

Où voulez-vous en venir? je ne comprends pas bien par rapport à la question, est-ce encore une histoire de racines? je ne vois vraiment pas...

Merci

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2008, 09:46

G1 et G2 sont deux polynômes car X et Y prenent un nombre fini de valeurs , G1 et G2 divisent G3 donc nécessairement

G1 (s) = (ps+q)^n

et G2(s) = (ps+q)^m avec n+m = r

ce qui prouve que X et Y sont binomiales.

par **Vandi** » 21 Mar 2008, 11:08

Je suis d'accord avec vous mais comment sait-on que ces deux lois binomiales vont etre forcement de meme parametre p?

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2008, 11:20

la fonction génératrice donne la loi!!

elle est faite pour ça même

G1(s) = (ps+q)^n = sigma ...

donc P(X= k) = (k parmi n)...

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