Résolution d'une équation trigo

[pat46]

Bonjour à tous,

Pour mon travail, je dois déterminer la valeur de t pour laquelle la fonction H(t) suivante atteint son maximum pour t entre 0 et 0.01 (t est un temps en s) :

H(t)=0.315*[cos(314*t)]exposant(2.5)/(0.005-t)exposant(1.5)

(désolé, je n'ai pas réussi à mettre l'équation en forme plus lisible)


J'ai dérivé cette fonction pour déterminer la valeur de t pour laquelle H'(t) = 0 et je bloque à :

523*(0.005-t)*tan(314*t)=1 (2)

Nota : j'ai arrondi les constantes

Mes études étant lointaines, j'attend de l'aide pour :
- vérifier que mon équation (2) est correcte
- Si oui, peut-on la résoudre

Pour info, informatiquement, j'arrive à t=0.0017 environ

Merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'aider

pat46

[regis183]

salut pat.
ba déja tu peut "arrondir les exposants à 2 en haut, et 1 en bas (en gros tu mets ta fonction à la puissance -0.5 , fonction qui est croissante, qui ne change donc pas les variations de H). Enlève aussi le 0.315, et remplace t par T=100*t.

G(T)=cos²(pi*T)/(.5-T) pour T=0->1
G'(T)=cos(pi*T) [1-(T-.5)*sin(piT)]/R²
G'(T)>0 pour (T-.5)sin(piT)<1 ce qui est toujour le cas pour T=0->1

Donc le maximum est atteint pour T=1 et t=0.01

Vérifie comme même les calcules, on sait jamais..

[JJa]

Bonjour,

Je suis d'accord, 523*(0.005-t)*tan(314*t)=1 est correct, aux approximations près.
On remarque que 314 est voisin de 100*pi
et 523 est voisin de (5/3)*100*pi
Avec ces approximations :
(5/3)*((pi/2)-pi*100*t)*tan(pi*100*t)=1
et en posant x=(pi/2)-pi*100*t
tan(100*pi*t)=cotan(x)
on aboutit à une forme plus simple de l'équation :
5*x=3*tan(x)
La solution triviale x=0 n'étant pas viable, on sait que ce genre d'équations se résout par calcul numérique en pratique (ou théoriquement par série infinie, ce qui est hors sujet ici)
Sur le domaine souhaité, le résultat viable est approximativement :
x= 1.05279429376987..
t = ((1/2)-(x/pi))/100 = 0.001648851681752..

[JJa]

Note: dans la réponse précédente, "viable" veut dire "qui correspond à un maximum" et non pas à un minimum (La dérivée nulle pouvant correspondre, soit à un maximum, soit à un minimum de la fonction, il faut faire une vérification pour chaque solution et l'éliminer si elle n'est pas viable).

[busard_des_roseaux]

523*(0.005-t)*tan(314*t)=1 (2)

bjr,

j'ai passé ton équation au solveur d'équation de ma TI89 (titanium :zen: ).

Elle indique entre autres solutions:





Il faudrait que tu vérifies si ces valeurs approchées conviennent.
Il semble qu'il n'y ait pas unicité d'une solution dans l'intervalle

Ce que je ferai expérimentalement si j'étais confronté au problème
de résoudre g(x)=0:

Une subdivision en 100 points régulière de l'intervalle d'étude [0;0.01]

On teste si g change de signe sur les petits intervalles

Si oui,
l'équation g(x)=0 se résoud par la méthode de Newton
x est limite de la suite:

[JJa]

Bonjour busard_des_roseaux,

je croix qu'il y a des erreurs dans ton calcul.
La méthode de Newton donne (dans le domaine considéré) seulement deux valeurs de t, dont une seule correspond à un maximum de la fonction considérée initialement.
La seule solution répondant à la question est celle déjà indiquée :
t = 0.00164885..
qui est bien en accord avec t = 0.0017 environ, que pat46 avait trouvé lui-même.
Il suffit d'ailleurs de représenter graphiquement la fonction pour s'en convaincre visuellement.

[JJa]

Si l'on reporte les trois valeurs que tu donnes dans
523*(0.005-t)*tan(314*t)
on trouve =1/2 au lieu de =1.
Attention également à ce que les transformations effectuées à partir de la fonction initiale jusqu'à l'équation que l'on traite n'introduisent pas des solutions aberrantes (qu'il convient d'éliminer en faisant les vérifications nécessaires)

[JJa]

Pour préciser le point sur lequel je voulais attirer l'attention dans mon message précédent:
Au voisinage de t=0.005, on remarque que tan(314*t) est voisin de tan(pi/2), c'est à dire dans un domaine où la prudence est de règle (à la limite : + ou - l'infini). Ceci étant multiplié par (0.005-t)=0. Dans ces conditions, avec les approximations faites, le calcul numérique peut éventuellement sortir des solutions proches de t=0.005 qui sont aberrantes.
Si l'on représente graphiquement la fonction initiale :
H(t)=0.315*[cos(314*t)]exposant(2.5)/(0.005-t)exposant(1.5)
on voit bien qu'il n'a pas de maximum, ni de minimum au voisinage de t=0.005.

[JJa]

Encore une petite remarque pour illustrer comment des solutions non viables peuvent être introduites par des transformations préalables. Par exemple :
Si on élève au carré la fonction donnée H(t) de façon à n'avoir que des puissances entières, H²(t) est toujours positive, sauf à ses zéro où elle est nulle, comme dirait Monsieur de Lapalice.
Par cette transformation, on crée donc des minimums en ces points : ce sont des minimums pour H²(t), mais ce ne sont pas des minimums pour H(t). Lorsqu'on dérive H²(t), on trouve que la dérivée est nulle en ces points là, alors que la dérivée de H(t) n'y est pas nulle. Ainsi, en considérant tous les zéro de la dérivée de H²(t), on peut faire des erreurs d'interprétation et de résultat si on ne fait pas une vérification au stade final des calculs pour éliminer les résultats non viables.

[pat46]

Bonjour,

Merci JJa pour tes réponses, elles permettent de valider précisément ce que j'avais trouvé et de m'apporter des nouvelles indications intéressantes. Je vais pouvoir l'utiliser.

Busard des roseaux, il doit effectivement avoir une erreur dans les calculs, ça ne colle pas avec les courbes (erreur d'unité degré radian ?)

En tout cas merci à tous d'avoir répondu.

A +

pat46