Intégrale trés complexe ( je penses )

[exopia]

Bonjour, je suis en fac de science ( elec ), et donc je suis confronté dans le cadre d'un projet à calculer analytiquement la vitesse d'un objet en metal soumis à un champ magnétique d'une bobine. Le problèmme étant que l'equa diff resultante est assez imonde ( j'ai beau en parler à des enseignant en math, ils sechent autant que moi )

voila l'équa diff :

d²x/dt² = a.I(t).Bf(x)

avec I(t)=exp(r1t)-exp(r2t)

et Bf(x)=Somme{(i,j)=(1,1)->(n,p)}[1/(A+i)²+(B-x+j)²)]

Bon j'ai tout de meme pu avancer dans le calcul. Je recherche les solutions lorsque t-->+infini et x=vt+b ( et oui quand le courant dans la bobine est nul, il n'y a plus de force d'attraction, et donc si on néglige les resistnces du aux fluides, on à une vitesse constante )

Je cherche donc ce fameux facteur "v" !

J'en ai déduit que

v=dx/dt=a.INT{t=0->+infini}[I(t)Bf(vt+b)dt]

On se retrouve donc avec une intégrale à resoudre :

INT{t=0->+infini}

exp(At)-exp(Bt)
-----------------
C²+(D-vt-b)²


Et expo sur poly, apparament, c'est pas simple ^^

donc si quelqu'un à un indice pour trouver une réponse, je lui en serait trés reconnaissant. Mais en attendant je me contenterais de la méthode séquentielle, bien que l'analytique permettrait une modélisation autrement plus rapide.


Merci d'avance.

[JJa]

Bonjour,

si les exposants étaient positifs, l'intégrale en question ne serait pas convergente. Je préfère donc changer les notations et écrire la fonction à intégrer sous la forme :
exp(-At)-exp(-Bt)
-----------------
C²+(D-vt-b)²
avec A et B respectivement positif ou nul.
En faisant ensuite le changement de variable suivant :
y = (vt-D+b)/C
on se ramène à :
K1.exp(-x1.y)/(1+y²) - K2.exp(-x2.y)/(1+y²)
avec K1, K2, x1 et x2 des constantes (dans lesquelles v intervient).
L'intégration de chacune de ces deux fonctions ne peut pas se faire avec les fonctions usuelles en nombre fini. Le résultat peut être exprimé formellement grâce à des fonctions spéciales du genre "exponentielle intégrale" (dans leur domaine complexe), ou en réel par fonction spéciale fi(x) "sinus intégral auxiliaire" (auxiliary sine integral), qui peut être écrite avec une combinaison de fonctions sinus et cosinus intégral.
Quoi qu'il en soit, le résultat de l'intégration sera une formule relativement compliquée où se trouveront plusieurs fonctions spéciales dans lesquelles on trouve v parmi leurs paramètres.
Il faudrait ensuite égaler à v cette formule, ce qui conduirait à une équation dont l'inconnue est v, que l'on cherche à calculer si j'ai bien compris la question.
Il est extrèmement probable que l'on ne puisse pas résoudre analytiquement cette équation, du fait que l'inconnue v figure dans plusieurs fonctions spéciales (même dans le cas plus simple d'une équation ne comportant qu'une seule fonction spéciale, le calcul analytique de sa réciproque est généralement très problématique).
Je pense donc que l'on sera, de toute façon, conduit à du calcul numérique, que l'on passe ou non par des fonctions spéciales (qu'il faudrait finalement calculer numériquement). Il est même possible que le calcul numérique en passant par l'intermédiaire de fonctions spéciales soit plus compliqué et plus hasardeux que de le faire d'une façon directe.
Toutefois, dans un contexte "scolaire", un développement théorique, avec des formules "savantes", peut "faire bien" comme on dit, même si cela est sans application pratique.

[exopia]

Merci pour ta réponses. Effectiveùment, les fonctions spéciales vont avoir du mal à etre ecrites en language C. donc il ne me reste plus qu'a faire une methode séquentielle dans ce cas ^^

ps : j'ai fait une erreur j'ai oublié le carré dans l'intégrale, ce qui rend encore plus complexe la fonction...

[exopia]

Sinon niveau généralité, on commence à voir les limites des mathématiques... Pour un problemme s'apparence simple ( une bobine un condensateur, et un morceaux de métal ), on arrive vite à des solutions iréalisables analytiquement. De plus que si on avait voulu connaitre le regime transitoire de cette equa diff, et bien ca aurait été encore plus complexe ( rajouter en plus un dv/dt à cause des frotements, 2 composantes à cause du poid, et on obtiente une équation tout a fait imonde ^^)

[JJa]

Oui, c'est bien souvent ainsi en physique.
Mais je ne serais pas tout à fait aussi catégorique. Les paramètres sont généralement cantonés à des plages de valeurs plausibles telles que l'on puisse faire de bonnes approximations. J'entends, prendre des fonctions de plus bas niveau (plus simples) que les fonctions qui seraient nécessaires si tous les paramètres pouvaient prendre n'importe quelle valeur aussi bien irréaliste que réaliste.
C'est justement l'art du physicien que de se rendre compte des possiblités de négliger certains termes mathématiques dans une équation ou dans une fonction, dans la mesure où cela n'influe pas sensiblement sur le résultat dans un domaine réaliste de variation des paramètres.
D'une part le bon usage de calculs numériques pour vérifier et d'autre part la connaisance des propriétés des fonctions spéciales pour les transformations viables en des formes simplifiées sont, à mon avis, des compétences essentielles pour les recherches de formules semi-empiriques, sans oublier une autre compétence difficile à décrire, disons le "flair" ou l'intuition du physicien.

[exopia]

J'ai peut etre une piste pour résoudre ca, graces aux series entières :

L'intégrale nous donne une du type :

( ( SOMME[(-ax)^i/i!]-SOMME[(-bx)^i/i!] ) SOMME[(-X²)^i] ) ²


Ce qui je penses est possible à résoudre, aprés au niveau de la modélisation, mieux faut faire une somme plutot qu'un calcul séquentiel à mon avis. en ayant une approximation de 1% pour ce modèle serait déjà trop précis. donc je penses pas qu'il faudrait aller loin dans les series.

[exopia]

Je vient de me rendre compte d'une petite erreur qui est assez importante, j'apelle Bf2 le nouveau Bf :

Bf2=Bf.signe(D-vt-b) ou Bf2=Bf.s|D-vt-b|/(D-vt-b) si D-vt-b<>0

et donc on obtient la somme :

( ( SOMME[(-ax)^i/i!]-SOMME[(-bx)^i/i!] ) SOMME[(-X²)^i] ) ² . |D-vt-b|/(D-vt-b) si D-vt-b<>0
sinon ( ( SOMME[(-ax)^i/i!]-SOMME[(-bx)^i/i!] ) SOMME[(-X²)^i] ) ²


En effet, j'ai pas vraiment tenu compte des vecteurs dans mes calculs, du coups, la somme Bf(i,j) doit etre marqué d'un facteur -1 pour chaque i,j si la spire se trouve "derriere" le projectile.




donc ce qu'il faut faire pour le moment : linéariser cette somme pour pouvoir entrer l'intégrale dans les sommes, aprés de quoi il faudra calculer ces intégrales, et on obtiendra plusieurs sommes imbriquées, et avec de la chance on pourra les convertir en fonctions pour en accelérer le traitement.



ps : je vient de voir ce qu'été une exponentielle intégrale, et c'est justement l'intégrale exp(t)/t et c'est une somme. donc je penses qu'on est sur la bonne piste.