Ln TES

[Melanie59]

Bonjour tout le monde.

Je sais pas si un jour j'y arriverais sur ce chapitre...
Un exercice sur ln que j'ai fais mais dont je ne suis absolument pas sur, si quelqu'un voudrait bien verifier, puis si j'ai faux m'expliquer pourquoi.

Je vous donne l'énoncé.
Soit la fonction f définie sur ]0;15] par f(x)= (ln x)² - 2 ln x - 1

1a) étudier la limite de f(x) quand x tend vers 0
lim (ln x)² = - l'infini, mais là je ne suis pas sur, je sais que quand x tend vers 0 la limite de (ln x)= - l'infini, mais la c'est une fonction carré donc je sais pas si j'ai le droit d'appliquer cette même formule.
lim -2 ln x - 1= - l'infini donc par somme j'en conclus que la limite de f(x)=+ l'infini.

b) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) a le même signe que ln x - 1.
f'(x)= 2* (1/x) ln x - 2*(1/x)
f'(x)= 2/x (ln x -1)
Par contre pour la deuxième partie de la question, je vois qu'il y a un rapport avec "ln x -1" mais j'arrive pas à prouver.

c) Etudier le signe de f'(x) sur ]0;15[ et dresser le tableau de variation de f sur ]0;15[
là pas sur du tout. J'ai fait 2/x > 0 sur ]0;15[
ln x - 1 >/0
ln x >/1
x>/ e
Puis aprés une fois que j'ai le signe de f'(x) j'étudie dans le tableau les variations.

Merci.

[mathius]

Bonjour,

f(x)= (ln x)² - 2 ln x - 1

Tu peux écrire f(x) = (lnx - 1)² - 2

Le carré est toujours positif ou nul, il tend vers +OO qud x tend vers 0 ...

Bon courage :doh:

[mathius]

f'(x)= 2/x (ln x -1)
Par contre pour la deuxième partie de la question, je vois qu'il y a un rapport avec "ln x -1" mais j'arrive pas à prouver.

lnx est défini seulement si x > 0.

Si x = e alors lnx - 1 = 0 car lne = 1.

La fonction ln étant strictement croissante sur ]0,+OO[, pour tout x > e, x réel, (lnx - 1) est donc du signe de 2/x qui est du signe de x (x >0) ...

Pour tout 0< x < e, (lnx - 1) < 0 est donc du signe contraire de x ...

Ceci dit, il reste plus qu'à comparer 2/x au nombre e, sur ]0,15[ ou quelque chose comme ça ...

( e = 2,71828183 )

[Melanie59]

donc en fait ça fait
lim (ln x - 1)²= + infini?

[mathius]

effectivement :++:

[Melanie59]

Donc la limite de f(x) = plus infini?

et un dernier petit conseil, je dois ensuite calculer les abscisses des points d'intersection de la courbe C qui est représenté par f(x) et de la droite d'équation y=-1

Il faut que je fasse f(x)=-1
On pose X=ln x

X² - 2X - 1=-1
X²-2X=0
X(X-2)=0
X=0 ou X=2
ln x =0 donc x=1
ln x =2 donc x= e exposant 2

c'est bien ça?

[mathius]

ln x =0 donc x=1
ln x =2 donc x= e exposant 2


Bonjour,

En effet c'est bien ça, mais le plus important c'est de savoir pourquoi !

C'est le fait que la fonction ln est monotone sur ]0,+OO[ qui permet de parvenir à ce résultat.

Fonctions monotones :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_monotone

ln est monotone (strictement croissante en l'occurence, sur ]0,+OO[ ) donc ça permet d'écrire, x,y étant deux nombres réels > 0, :

[SIZE=3][B]x lnx = ).

Bon courage :we: