J'ai un problème avec une équation quadratique.
Je risque d'etre long donc je vais essayé d'etre structuré:
J'exposerais tout d'abord le problème tel qu'il m'a été formulé, puis ma démarche actuelle. Cela est utile si certains pensent que je fais entièrement fausse route, et veulent m'aiguiller sur une autre voie...
La dernière phrase de la partie II est mon problème actuel, et en III vous verrez pourquoi ca l'est.
Enfin, en IV je décris les pistes de reflexion que j'ai, pour finir en V par des questions précises
I-Exposé du problème
Je me place dans le plan, et j'y étudie la valeur d'une propriété Z.
Cette propriété est connue pour quatre points, aux coordonnées (0,0), (1,0), (0,1) et (1,1).
Entre ces points (et je n'ai à me placer que dans cette grille cartésienne), la valeur de la propriété varie linéairement.
Calculer la valeur de la propriété en un point (x,y) donné est donc chose aisée.
Mon boulot est de faire l'inverse, c'est à dire de trouver l'équation de la courbe passant par l'ensemble des points de propriété Z=Z0.
Je réalise ceci par informatique, ce qui est à la fois un avantage mais aussi un inconvénient, comme nous allons le voir
II-Ma demarche
Je m'intéresse à ce qu'il se passe sur chaque arête du carré cartésien précédemment défini.
Pour chaque arete, il n'y a que trois possibilités:
*Z0 ne se retrouve pas
*Z0 se retrouve en un point P
*Z0 se retrouve sur toute l'arête
Par conséquent, il n'existe que 8 possibilités pour le carré.
Si l'on retire de celles ci les cas non intéressants (cas où la valeur se retrouve nul part/partout), et que l'on considère certains cas comme des combinaisons des précédents, il n'y a que trois cas à considérer:
*cas où la valeur se retrouve tout le long d'une arête et c'est tout (cas hyper facile: une droite)
*cas où sur les 4 arêtes seuls deux points ont leur Z=Z0, et se situent sur des arêtes opposées (cas hyper facile aussi: une droite)
*cas où sur les 4 arêtes seuls deux points ont leur Z=Z0, et se situent sur des arêtes adjacentes -> cas qui me pose des problèmes
Pour ce cas, il est possible de déterminer:
1- Les couples (xi,yi) et (xj,yj) correspondant aux deux points situés sur les arêtes
2- L'equation à laquelle répond chaque point de la courbe, du type:
A/sqrt(x²+y²) + B/sqrt((1-x)²+(1-y)²) + C/sqrt((1-x)²+y²) + D/sqrt(x²+(1-y)²) = 0
où A,B,C,D sont des constantes (dépendant de Z(0,0),...,Z(1,1), et de Z0)
sqrt désigne la racine carrée
III- Mon problème
Mon problème est bien évidemment de faire en sorte que l'équation précédente soit utile, donc de la forme y=f(x).
Dans l'état actuel de ma démarche, ce que je fais est la chose suivante:
Je repères les points Pi et Pj
Je place N-2 points, à abscisses définies, entre ces deux points (on a donc N points, chacun à l'abscisse xk = xi + (xj-xi)*k/N, k variant de 0 à N)
Pour chaque point Pk, je sais que yk se situera entre y(k-1) et yj, et donc je peux appliquer un algorithme de dichotomie sur cet intervalle, pour trouver yk
Problèmes:
C'est long (très long!)
Ca ne me donne ma courbe qu'en un nombre fini de points
IV-Mes pistes de reflexion: les paroles de proches
1-Le Directeur de recherche: "vas y mon gars, trouve l'equation"
Sauf que si il me propose ce sujet, c'est que visiblement il ne l'a pas trouvée lui même...
Si certains sont aptes à le faire... moi malheureusement :triste:
2-La petite soeur encore en secondaire: "hey, ca ressemble à un cercle"
Bon, faut le dire vite, mais c'est vrai que je serais tenté de dire que l'equation précédente est transformable en une gentille:
(x-x0)²+(y-y0)²=R²
Le premier hic, c'est que si je balance ça sans le démontrer je vais me faire laminer.
Le second hic, c'est que dans une telle équation y'a trois inconnues: x0, y0 et R; et que je ne dispose que de deux points (donc deux équations) pour les trouver... donc sauf si j'ai loupé quelquechose cette piste n'est pas exploitable
3-La pote plus géologue que mathématicienne: "fais un DL, boubourse!"
(oui, le programme sera par la suite utilisé en géologie)
Le premier hic, c'est que les DLs je les avais vu les premières années de post bac, et donc c'est pas tout jeune... Bon, ca encore, ca se trouve (même wiki doit les avoir)
Le second hic, c'est que si mes souvenirs sont bons, un DL signifie "perte de précision", ce que j'aimerais au maximum éviter
Le dernier hic, c'est que, là encore si mes souvenirs sont bons, un DL signifie qu'une des variables (x ou y ici) est petite devant l'autre, ou devant 1.... sauf qu'ici tout est grosso modo du même ordre...
4-Le pote plus informaticien que mathématicien: "approxime autrement"
Ce qui à mon avis est encore la recommandation la plus utile à mes yeux...
Le premier hic, c'est que ca ne resoudra pas mon problème d'echantillon: j'aurais toujours un nombre fini de points, et j'augmenterais considérablement le temps de calcul si je veux augmenter la précision. Ca encore, c'est pas trop grave, parceque si j'ai un nombre de points suffisants, je peux appliquer l'interpolation lagrangienne d'Hermite, et disposer alors d'un truc continu.
Le second hic, c'est qu'à part Newton-Raphson ou la méthode de la sécante, des algorithmes d'approximation, je n'en connais pas d'autre que celui de la dichotomie...
V-QUESTIONS PRECISES
1-Je rêve pas trop, mais si y'en a qui veut me montrer comment on résout l'équation en gras.... :id:
2- Y'a t'il une méthode que vous me recommanderiez pour avancer, parmi les précédentes ou une autre?
3- Quelle méthode d'approximation autre que dichotomique serait efficace et où puis-je me documenter dessus?
Voilà.
En esperant ne pas avoir été trop long, mais surtout vous avoir donné toutes les clés pour etre à même de m'aider...
Merci d'avance...
