Piti probleme d'aritmetique!!!

[sengirs]

Est-il possible de payer un article valant 283€ avec uniquement des billets de 5 € et des pieces de 2€?
Determiner toute les combinaisons possibles.
merci bonne journée....

[mathador]

BONJOUR (hem hem hem)
Cela revient à résoudre dans N² l'équation (E) : 5x + 2y = 283.
5 et 2 étant premiers entre eux, on est sûr qu'il existe une solution.
Solution particulière : (55,4) (ce n'est peut-être pas la plus simple mais elle saute aux yeux. Sinon, on passe par l'algorithme d'Euclide).
Soit (x,y) une solution de (E) dans Z². Alors :
5x + 2y = 5*55 + 2*4
5(x-55) = 2(4-y)
2 divise 5(x-55) or 2 est premier avec 5 : d'après le théorème de Gauss 2 divise x-55; x s'écrit donc x = 2k + 55 avec k dans Z. Substituons dans notre dernière ligne , il vient :
5k = 4 - y. D'où y = 4 - 5k.
On vérifie aisément que tout couple de la forme (2k+55;4-5k) avec k dans Z est solution de (E) dans Z².
On en déduit facilement les solutions dans N².
Cordialement

[sengirs]

BONJOUR
merci beaucoup mathador j'avais fait une chtite erreur à cause de laquelle je trouvais des solutions negatives...
bonne journée ( et desolé pour l'oubli du bonjour lors du 1er message)

[HaK]

C'est grâce à la spé maths que tu as pu répondre mathador ?

[sengirs]

slt hak
je peux repondre pour mathador, en effet c'est grace au programme de TS spé maths qu'ilk a pu resoudre cette equation.
cordialement...