X+y+z=1

[nekros]

Salut,

Soient , et trois réels positifs tels que .

Montrer que

A+

[aviateurpilot]

[nekros]

Bravo, tout est correct.
Sauf à la première ligne, erreur de frappe : c'est -2xyz :lol4:

A+

[aviateurpilot]

j'ai modifié
:++:

[Zweig]

OIM 1984 me semble-t-il ... Autre manière de faire :

On pose , ,

L'inégalité à démontrer se réécrit alors :



L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :

pour tout réel t et réels positifs x, y,z

Pour nous avons :

Pour nous avons :

De ces deux inégalités on en déduis un encadrement pour q et r :

(1)

(2)

De (2) nous avons et puisque alors par transitivité,

L'inégalité à démontrer se réécrit aussi

De (1) nous avons

Or il est bien connu que d'où et ainsi par transitivité,

Ainsi nous avons prouvé que

[ThSQ]

Jolies solutions astucieuses. A noter que ça se torche bêtement et rapidement en homogénéisant et développant (ça prend 10 min à tout casser et ça fait 40+ min de gagner pour chercher les exos suivants ...).

[Zweig]

Je profite de ton intervention pour te poser une question : je retrouve souvent dans les inégalités le terme "homogénéiser" : qu'est-ce que cela veut dire ?

Merci d'avance.

[ThSQ]

"homogénéiser"

C'est tout remettre avec des degrés homogènes en utilisant les contraintes données.

Par exemple si x+y = 1, alors x² + y² + x + y s'homogénéise en x²+y² + (x+y)².
Ca permet d'appliquer des résultats qui tuent ce genre l'inég comme Muirhead

( http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead's_inequality )