Term S suites

par **so-cerise** » 03 Mar 2008, 17:51

bonjour,

j'aurais besoin de votre aide pour résoudre cet exercice:

soit a et b deux réels; a>0, a "différent" de 1.
On considère la suite (Un) définie par: U0 = 1 et pour tout entier naturel n, U(n+1)= aU²n et la suite (Vn) définie par Vn = (ln(Un)/ln(a))-b.

1) déterminer le rél b tel que la suite (Vn) est géométrique.

pouvez vous m'aider? me dire par où commencer car je n'en ai aucune idée...

merci !!

par **mathius** » 03 Mar 2008, 18:20

Bonjour,

D'abord : a>0, donc lna existe, et de plus lna 0 car a 1.

Ensuite, tu dois démontrer que Un est strictement positif, à partir d'un certain n.

Ceci fait, et dans ce cas précis, avec un n dans N tel que Un est > 0, tu as :

Vn+1 = [ln(Un+1) / lna ] - b.

Tu remplaces Un+1 par sa valeur en fonction de n.

=> Vn+1 = {[lna + 2lnUn] / lna} - b = (1-b) + 2Vn.

Donc si b = 1 alors Vn est géométrique de raison 2 :++:

Bon courage :we:

par **so-cerise** » 03 Mar 2008, 19:16

merci pour votre aide, mais comment démontrer que Un est strictement positive à partir d'un certains n?

par **tito** » 03 Mar 2008, 19:25

bonjour cerise, attention il me semble que mathius à fait une petite erreur à la fin, en fait il faut écrire :

Vn+1 = {[lna + 2lnUn] / lna} - b = (1 + b) + 2Vn. donc b = -1 et elle est bien géométrique de raison 2 ! :happy2:

A++

par **so-cerise** » 03 Mar 2008, 20:08

d'accord, merci !

mais comment montrer que Un est strictement positive à partir d'un certain n, est-ce nécessaire?

par **so-cerise** » 03 Mar 2008, 20:34

ensuite on me demande d'exprimer Vn en fonction de n, je trouve Vn = 2^n.

Puis enfin, on me demande de déduire Un en fonction de n. là je fais:

Vn = (ln(Un)/ln(a))-b
ln(Un) = ln(a)(Vn-b)
je crois qu'après je peux faire: exp(ln(Un)) = exp(ln(a)(Vn-b))
après on peut écrire: Un = aVnb = -aVn (b=-1)

mon résultat est-il juste?

par **XENSECP** » 03 Mar 2008, 20:37

problème de signe a la deuxième ligne ;)

par **mathius** » 04 Mar 2008, 09:29

Bonjour,

Vn+1 = {[lna + 2lnUn] / lna} - b = (1 + b) + 2Vn. donc b = -1 et elle est bien géométrique de raison 2 !

Effectivement j'avais commis une petite erreur ... c'était volontaire bien sûr :marteau:

Ceci étant dit, ça te donne seulement que si b=-1 alors Vn est géométrique de raison 2.

Maintenant tu dois démontrer la réciproque : si Vn est géométrique alors b= -1.

Suppose donc que Vn+1 = q.Vn, pour un n donné dans N tel que Un est strictement positif. q dans R.

Alors cela équivaut à écrire que Vn+1 = qVn = (1+b) + 2Vn
(q-2)Vn = 1+b
si q = 2 alors b = -1 : le cas précédent = Vn géo de raison q=2.
si q 2 alors Vn = (b+1) / (q-2) = cte indépendante de n, donc ça ne peut pas être une suite géométrique (voir la déf d'une suite géo).

Conclusion : Vn est géométrique b=-1, géométrique de raison 2.

Un doit être >0 car ln (Un) intervient dans les calculs.

Bon courage :we:

par **mathius** » 05 Mar 2008, 17:59

Bonjour,

Petite rectification : en fait une suite constante est une suite géométrique de raison q=1.

si q 2 alors Vn = (b+1) / (q-2) = cte indépendante de n, donc ça ne peut pas être une suite géométrique (voir la déf d'une suite géo).

rectification :

Si q 2 alors Vn est une suite géométrique de raison q=1, avec, pour tout n, Vn = -b-1 = V0

V0 = ln1 - b = -b donc cela donne que -b-1 = -b -1 = 0 impossible.

Bon courage :we:

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