Developpement limité

[Chuck Nurris]

bonsoir. s'il vous plait j'ai une petite question :

pour avoir un equivalent de la fonction sin(log(1+x)) a l'ordre 3 au voisinage de zero, suffirait-il de composer le DL a l'ordre 2 du log(1+x) avec le DL d'ordre 3 du sin(x)?

si c'est le cas alors pour moi cela remetterait en question l'unicite du DL ...(sachant qu'on aurait pas le meme polyome si on composait le DL du log(1+x) a l'ordre 3 avec le DL sin(x) a l'ordre 3)

quelqu'un aurait des explications?

[darkantoine]

en fait l'idée est que si tu fais les développement à un ordre trop élèves, les éléments vont disparaitre par la suite
exemple :
sin(exp(x)-1)=sin(x + x^2/2 +x^3/6 + x4^4/24 +o(x^4))
= (x + x^2/2 +x^3/6 + x4^4/24 +o(x^4)) - (x + x^2/2 +x^3/6 + x4^4/24 +o(x^4))^3 /6+ o(x^3)

= x + x^2/2 + x^3(1/6-1/6) + x^4(...) + ... +o(x^3)

or tous les terme en x^k k>3 sont des o(x^3)

conclusions, tu gardes uniquements les termes qui vont etre de puissance <=3

[Chuck Nurris]

entierement d'accord avec toi, c'est juste que si tu utilises les deux differentes methodes mentionées dans mon premier poste, tu n'auras pas les memes coefficients (par exemple si tu composes un DL a l'ordre 3 avec un autre DL a l'ordre 3, on suppose que tu ais un facteur t pour x^3. or si tu composes un DL a l'ordre 3 avec un autre a l'ordre 2 des memes fonctions respectivement, alors tu n'auras pas le meme facteur pour x^3).

j'espere que tu as assez bien compris ce que que je veux dire...

[alavacommejetepousse]

bonsoir

la réponse à ta question initiale est NON
deux choses distinctes

1 un équivalent n'a pas d'ordre: pour obtenir l'équivalent il suffit de composer les dls à l'ordre 1 l'équivalent est x
2 pour avoir un dl d 'ordre 3 il faut composer les dls à l'ordre 3

une règle d'or quand on DEBUTE composer les dls au même ordre.

(il y a des cas où ce n'est pas nécessaire typiquement quand un des dls a le terme en x nul) ,

[darkantoine]

entierement d'accord avec toi, c'est juste que si tu utilises les deux differentes methodes mentionées dans mon premier poste, tu n'auras pas les memes coefficients (par exemple si tu composes un DL a l'ordre 3 avec un autre DL a l'ordre 3, on suppose que tu ais un facteur t pour x^3. or si tu composes un DL a l'ordre 3 avec un autre a l'ordre 2 des memes fonctions respectivement, alors tu n'auras pas le meme facteur pour x^3).

j'espere que tu as assez bien compris ce que que je veux dire...

j'ai bien compris. Ce que je veux dire c'est si tu pousse de DL de la fonction jusqu'au terme de degré 4, il sera automatiquement tronqué... donc il ne sert à rien pour ton DL à l'ordre 3.
Le principe pour avoir un DL EXACT est de garder tous les terme de degré inférieur à 3 et ce en partant du DL à l'ordre 3. Mais parfois tu te rends compte que ça ne sert à rien...
par exemple si une fonction f a pour DL x + x^3 +...
et g x^2+ x^3 +...

tu vois tout de suite que le x^3 de f ne sert à rien pour un DL à l'ordre 3 car il va donner au minimum du x^4 dans g (x+x^3)²+2x^4+x^6...