F(f(n))=n+2007

[BiZi]

Bonjour,

Montrer qu'il n'existe pas d'application de vérifiant



Cet exo est difficile mais la solution est assez "intuitive" (dans le sens où elle n'est pas de la forme: on pose A=l'intersection des images réciproques des formes linéaires modulo l'idéal associé... et ca marche).

Si cet exo a déjà été posé récemment (je crois que c'est un classique) bin pas taper :marteau: (je ne l'ai pas trouvé en cherchant un peu sur le forum)

[ThSQ]

D'une olympiade de 2007 sans aucun doute :id: :marteau:


f(n+2007) = f(f(f(n)) = f(n) + 2007
f(n+2007*m) = f(n) + 2007*m par réc.

Il suffit donc de s'intéresser à f(n) pour n < 2007.

f(n) = q(n) * 2007 + r(n) avec r(n) < 2007
f(f(n)) = n + 2007 = f(r(n)) + q(n) * 2007

Donc q(n) = 0 ou 1

Si q(n) = 0 : f(n) = r(n) + 2007 et f(r(n)) = n
Si q(n) = 1 : f(n) = r(n) ......... et f(r(n)) = n + 2007

Dans les deux cas on peut faire des paires (x,y) = (n, r(n)) tels que f(x) = y + 2007 et f(y) = x, et x != y.

Le pb c'est que de 0 à 2006 il y a 2007 nombres et que 2007 est impair. C'est un peu dur de faire des paires sans oublier personne .....

A noter que ça marche pas l'an prochain !!!!

[BiZi]

Dans les deux cas on peut faire des paires (x,y) = (n, r(n)) tels que f(x) = y + 2007 et f(y) = x, et x != y.

Le pb c'est que de 0 à 2006 il y a 2007 nombres et que 2007 est impair. C'est un peu dur de faire des paires sans oublier personne .....

Euh et avec une rédaction plus précise ca donne quoi? (je pense avoir compris mais ce qui me gêne c'est que tes paires ne sont pas toutes dans [0;2006], peux-tu développer un peu?)

Bin sinon moi j'avais considéré
A={ tel que }

L'application f restreinte à A est bijective de A dans B donc
Card A=Card B
Or A et B forment une partition de [0,2006] donc Card [0,2006]=Card A+Card B=2*Card A=2007 absurde.

[ThSQ]

ce qui me gêne c'est que tes paires ne sont pas toutes dans [0;2006]

Ben si

>>>> Il suffit donc de s'intéresser à f(n) pour n >>> f(n) = q(n) * 2007 + r(n) avec [B]r(n) < 2007

[aviateurpilot]

Bin sinon moi j'avais considéré
A={ tel que }

L'application f restreinte à A est bijective de A dans B donc
Card A=Card B

c'est bien donc tu as meme montrer qu'il n'existe pas d'application tel que avec impair

[Zweig]

Bonjour,

Montrer qu'il n'existe pas d'application de vérifiant

Nous allons en fait montrer un résultat plus fort : nous allons montrer qu'il n'existe pas d'applications de vérifiant

, où est un entier impair fixé.

Je te propose ma solution ici

[lapras]

Vraiment très belle ta solution.
C'est très concis !

[Zweig]

Merci :happy2:

[BiZi]

Bonjour,

Bonjour,



Nous allons en fait montrer un résultat plus fort : nous allons montrer qu'il n'existe pas d'applications de vérifiant

, où est un entier impair fixé.

Je te propose ma solution ici

Je ne vois pas trop comment tu passes de

f(n)+m=f(n+m) à
f(1)=a+1
f(2)=a+2
...
f(k)=a+k

J'ai l'impression que tu as fait n=0 et fait varier m de 1 à k: m est fixé pourtant!

[Zweig]

C'est bien ça, en fait j'aurais pu directement marqué f(m) = a + m ... :dodo:

[BiZi]

C'est bien ça, en fait j'aurais pu directement marqué f(m) = a + m ... :dodo:

Et comment justifies-tu cela? Désolé mais je crois que cette approche n'aboutit pas aussi simplement.

[BiZi]

C'est bien ça, en fait j'aurais pu directement marqué f(m) = a + m ... :dodo:

Oui, et après?

[Zweig]

Bah je ne vois pas ce que tu comprends pas ? On a pour tout m : f(m) = a + m, avec a = f(0). En particulier, on posant m = a = f(0), on a donc : f(a) = 2a.

Or d'après la relation de départ : f(a) = f(f(0)) = m, d'où par transitivité on obtient 2a = m, ce qui constitue une contradiction puisque m est supposé impair. Ainsi il n'existe aucune fonction N -> N vérifiant la relation donnée.

[BiZi]

Bah je ne vois pas ce que tu comprends pas ? On a pour tout m : f(m) = a + m, avec a = f(0). En particulier, on posant m = a = f(0), on a donc : f(a) = 2a.

Or d'après la relation de départ : f(a) = f(f(0)) = m, d'où par transitivité on obtient 2a = m, ce qui constitue une contradiction puisque m est supposé impair. Ainsi il n'existe aucune fonction N -> N vérifiant la relation donnée.

Mais ce n'est pas pour tout m! m est fixé. Sinon, ce serait un peu facile!

[Zweig]

Oui désolé je me suis emmêlé les pinceaux avec n et m, Il est fixé bien sûr.

[BiZi]

Oui désolé je me suis emmêlé les pinceaux avec n et m, Il est fixé bien sûr.

Donc cette démonstration est fausse. Il faudrait que tu modifies ta page!