Développemnt en série entière

[simplet]

Bonjour,
j'ai une ptite question.

Si par exemple on a une fonction g développable en série entière sur R* et prolongeable par continuité en 0, est-ce que cela implique qu'elle est développable en série entière en 0???

Par exemple la fonction g(x)=(exp(x) -1)/x est prolongeable en 0 (g(0)=1)) et dev.en seri.entière sur R*.

(elle est egalemnt dérivable en 0 si cela est utile...)

mercii

[XENSECP]

Elle est même dSE sur |R ;) donc voilà tout est dit :)

[alavacommejetepousse]

La fonction valeur absolue est un contre exemple à ce que dit XENS.

Elle est dse localement en tout point non nul et bien sûr pas en 0 car pas dérivable.

[simplet]

mais pour répondre à la question...
ce qu'on veut montrer est juste, mais est-ce que la raison invoquée est suffisante (et pourquoi?)
merci

(d'apres ce que dis la personne avant moi (nom trop compliqué ;-) la condition de dérivabilité en 0 est necessaire??

[alavacommejetepousse]

je pensais avoir répondu ;

Il ne suffit pas que f soit dse localement en tout point réel non nul pour l'être en 0

Pour être dse en 0 il est nécessaire d'y être de classe infinie.

[XENSECP]

vous m'avez embrouillé :S

[alavacommejetepousse]

je pense que c'est parce que pour toi dse c'est forcément au voisinage de l'origine , dans ce cas il n'y a en effet aucune question

alors que développer f au voisinage de a c'est écrire f localement au voisinage de a comme une série entière en les monomes (x-a)^n

[kazeriahm]

simplet :

exp(x)= donc f(x) = ?

[simplet]

simplet :

exp(x)= donc f(x) = ?

Oui oui je suis d'accord que si tu prends ce développement en série entière, que tu lui soustrait 1 et que tu divise par x tu trouve un développement en série entière (ulta)simple.
Ca peut paraitre bête, mais ce qui m'embête c'est de diviser par x en fait!

EST-CE QUE c'est JUSTE?
"Elle est dev. en ser. entière au voisinage de 0, elle est indéfiniment dérivable en 0, donc elle est dv. en ser. entière en 0"
c'est bon??

[ffpower]

la continuité suffit pour conclure.f est egale a une certaine serie entiere h sur R*,f et h sont continues en 0 donc f(0)=h(0) donc f=h

[simplet]

heu...
ca contredit ce que dit "alavacommejetepousse" au message 3 et 5... (la continuité ne suffit pas: contre exmple la valeur absolue).

non?? :doh:

[alavacommejetepousse]

la continuité suffit pour conclure.f est egale a une certaine serie entiere h sur R*,f et h sont continues en 0 donc f(0)=h(0) donc f=h

NON

vous confondez deux notions

1 la restriction de f à R* est une série entière de rayon de convergence infini et f continue en 0 :
dans ce cas ce que vous dites est juste

2 f est localement développable en tout point de R*

dans le cas 2 qui est celui de la question initiale

f peut bien être de classe infinie en 0 elle ne sera pas a priori dse en 0

exemple : f(x) = exp -(1/ l x l ) et f(0) = 0

toutes les dérivées sont nulles en 0 , f n'est donc pas dse en 0

[simplet]

Bonjour,

Si par exemple on a une fonction g développable en série entière sur R* et prolongeable par continuité en 0, est-ce que cela implique qu'elle est développable en série entière en 0???

Par exemple la fonction g(x)=(exp(x) -1)/x est prolongeable en 0 (g(0)=1)) et dev.en seri.entière sur R*.

.. ce n'était pas ma question? On est bien dans le cas 1 ici non?
En tout cas merci d'avoir répondu à ma question!

[alavacommejetepousse]

la question initiale est le cas 2
l'exemple numérique que tu donnes est le cas 1

[ffpower]

autant pour moi,j avais pas tout lu.je parlais juste de l exemple numérique.sinon,c est effectivement faux dans le cas général