Olympiades Suites

[romano77]

Voici trois exercices issu des Olympiades Anglaises de 1996:

EXO 1)Quels sont les 5 chiffres à droite du nombre obtenue en élevant 5 à la puissance 1000?

EXO 2)Lorsqu'on ecrit la suite des nombres entier differents de 0 : 1234567891011121314151617....
Quel est le 1000eme chiffre?

EXO 3) Une fonction f est definie pour tout nombre entier positif et verifie : f(1)= 1996
f(1)+f(2)+...f(n)=n²f(n) pour tout n>1
Calculer la valeur exacte de f(1996)

Bonne Chance :,) :ptdr:

[elmouldi]

Voici trois exercices issu des Olympiades Anglaises de 1996:

EXO 1)Quels sont les 5 chiffres à droite du nombre obtenue en élevant 5 à la puissance 1000?

EXO 2)Lorsqu'on ecrit la suite des nombres entier differents de 0 : 1234567891011121314151617....
Quel est le 1000eme chiffre?

EXO 3) Une fonction f est definie pour tout nombre entier positif et verifie : f(1)= 1996
f(1)+f(2)+...f(n)=n²f(n) pour tout n>1
Calculer la valeur exacte de f(1996)

Bonne Chance :,) :ptdr:

Pour l'exo 1 c'est 53125 je pense
je regarde le 2 et je reviens

[celine06_09]

pour l'exo 2 c'est 1001 la reponse je pense je suis pas sur

[elmouldi]

Pour l'exo 2
je pense que c'est plutot 3

[chan79]

salut
pour le 1: 90625
simplement avec une routine basic

[elmouldi]

salut
pour le 1: 90625
simplement avec une routine basic

j'ai saute un etape c'est bien 90625 :ptdr:
53125 sont les 5 derniers chiffres de 5^1001

Pour l'exo 3 f(1996) = 2/1997 je pense

[busard_des_roseaux]

salut
pour le 1: 90625
simplement avec une routine basic

exact. voiçi un algorithme qui permet de faire les calculs à la main:

Obtenir les 5 derniers chiffres de
c'est trouver son reste, modulo

On calcule quelques puissances successives de 5. on trouve:

se termine aussi par 03125
d'où, on écrit la congruence:


avec les congruences, on peut élever à la puissance:
en élevant à la puissance 13, n fois d'affilée:



car


ceçi donne une idée :id: de l'algorithme de réduction:


pour calculer le modulo de
on va réduire l'exposant n (n vaut 1000 au départ):

On calcule l'exposant n=1000 en base 13.
On garde les "chiffres",trouvés en base 13, de l'exposant
On remplace la base 13 par la base 5.
On recalcule l'exposant (en base 10 puis en base 13).
on recommence.


on garde les chiffres, on change la base:








fin de l'algorithme sur les exposants. La réduction de l'exposant a donné 8.
il suffit de regarder les 5 derniers chiffres de .



le résultat est 90625. :doh:

[chan79]

salut
bravo pour la démo précédente
voici une autre approche (sans doute moins bien ficelée)
Dans la première colonne du tableau, on a les premières puissances de 5.
5^5 et 5^13 ont les mêmes 5 derniers chiffres. Il y a donc périodicité pour les cinq chiffres de droite.
Les autres nombres du tableau donnent les exposants de 5: une puissance de 5 a les mêmes 5 derniers chiffres que le nombre de gauche de la ligne.
Sur l'une des lignes d'exposants on a les multiples de 8.
1000 étant justement multiple de 8, 5^1000 se termine par 90625. (comme 5^24 ou 5^32 ou 5^8000 ...)

[chan79]

Pour le 2°)
au début
123456789 le 9° est évidemment 9
ensuite
101112...99 de 10 à 99 cela fait 180 chiffres; le dernier chiffre (9) est le 189°
ensuite on écrit des nombres à trois chiffres 100 101 102 ...
nombre de chiffres à rajouter 1000-189 = 811
prenons 810 qui est divisible par 3 pour savoir quel sera le 999°
810:3=270
donc en commençant par 100, il faudra écrire 270 nombres à 3 chiffres
le dernier nombre est 369
le 999° chiffre est 9
comme on écrit ensuite 370 le 1000° chiffre est 3

[busard_des_roseaux]

salut
bravo pour la démo précédente
voici une autre approche (sans doute moins bien ficelée)
Dans la première colonne du tableau, on a les premières puissances de 5.
5^5 et 5^13 ont les mêmes 5 derniers chiffres. Il y a donc périodicité pour les cinq chiffres de droite.

Je n'ai pas réussi à prouver la périodicité de l'exposant modulo 8,
sur une puissance de 5 modulo .

[chan79]

Je n'ai pas réussi à prouver la périodicité de l'exposant modulo 8,
sur une puissance de 5 modulo .

Que penses-tu de ce qui suit ? (je ne suis pas trop sûr)

[busard_des_roseaux]

Que penses-tu de ce qui suit ? (je ne suis pas trop sûr)

:++: J'ai compris mon erreur; je pensais qu'il fallait avoir

pour avoir
pour tout .

Il n'en est rien.

[chan79]

Salut
Je pense qu'on a réglé son compte à l'exo 2; pour l'exo 3 je confirme que
f(1996) = 2/1997
Bon week-end