Complexe et puissance

par **p0pgum** » 27 Fév 2008, 18:51

Bonjour!

J'ai eu ce matin un contrôle sur les complexes, et une question m'a posé problème. Je n'en avais jamais fait de la sorte! (je symbolise le "racine de" par V et le puissance par ^, comme sur les calculatrices, c'est plus simple)

"Pour quelle valeurs de l'entier naturel n le nombre i(V3 +i)^n est-il un imaginaire pur?"

J'ai bien compris que pour cela, il fallait que la partie entre parenthèses soit un réel pur car multiplié par i, cela deviendra un imaginaire pur.
Seulement, à part n=0, je n'ai rien trouvé.

A force de réflechir je me suis dirigée vers une récurrence à la vue du n entier naturel. Ca me paraît évidemment faux après coup, mais voilà ce que j'ai fait et dis (en plus de l'explication pour le n=0)

"Par récurrence,
Initialisation pour n=0
(V3 +i)^0 = 1 réel

Transition
Soit (V3+i)^n = R un réel pur<=> (V3+i)^n * (V3+i) = R * (V3+i)
<=> (V3+i)^(n+1) = R*V3 + R*i

Ainsi, il n'existe pas de n tel que i(V3+i)^n soit égal à un imaginaire pur à part n=0"

Je voudrais savoir s'il était possible d'être éclairée, je n'aurai la correction que dans 2 semaines et je viens d'y réflechir 2h, sans succès... Merci!

par **BenBiz** » 27 Fév 2008, 19:03

Si ta parenthèse est bien (V3+1), tout les n naturels conviennent, a première vu.

Calcul (V3+1)², (V3+1)^3 ... Tu vas trouver des rééls ;)

par **p0pgum** » 27 Fév 2008, 19:04

Miiiiiiiince c'est pas (V3+1) mais (V3+i)... Je modifie mon post.

par **BenBiz** » 27 Fév 2008, 19:11

Je pense qu'en travaillant par équivalence on y arrive :

(V3+i)^n est un réél pur <=> arg(V3+i)^n=k*pi <=> n*arg(V3+i)=k*pi
<=> n*(pi/6)=k*pi <=> n = 6k avec k entier relatif.

Si j'ai pas fait d'erreur c'est ça ;)

par **p0pgum** » 27 Fév 2008, 19:16

BenBiz a écrit:Je pense qu'en travaillant par équivalence on y arrive :

(V3+i)^n est un réél pur arg(V3+i)^n=k*pi n*arg(V3+i)=k*pi
n*(pi/6)=k*pi n = 6k avec k entier relatif.

Si j'ai pas fait d'erreur c'est ça

En effet... Merci! Je pense que je n'aurais pas été capable de trouver par moi même, mais c'est vrai que quand on voit la réponse, c'est évident. Merci beaucoup!

par **BenBiz** » 27 Fév 2008, 19:20

Si tu peux y arriver par toi même.

A chaque fois que tu vois réél pur, pense à un complexe d'argument de la forme k*pi, et quand tu vois imaginaire pur, pense à un complexe d'argument pi/2 + k*pi

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