Sous groupe de Z²

[leking]

Bonjour à tous,
Voilà j’ai un petit (ou gros) souci, j’ai un exo assez long à faire, et je n’arrive même pas à faire la première question, je me donne donc deux à trois jours pour essayer de trouver la solution en comprenant l’exercice.
Si quelqu’un pouvait m’éclairer, cela me serait très utile.
Voici l’énoncé de l’exercice :

Notations : étant donné deux éléments de , on note et les sous-groupes de engendrés respectivement par et . Pour tout , on note l’application définie par .
a) Soient tels que , et le sous-groupe de .

i) Montrer que .
ii) Montrer que ssi .
iii) Montrer que est fini.

Voilà tout d’abord pour les 3 premières questions sachant qu’il y en a environ une dizaine.
Concernant la première question, pour montrer l’inclusion il faut que le sous-groupe soit stable par le produit mais aussi par l’inverse et qu’il existe un élément neutre appartenant au groupe et au sous groupe, comment fait-on. C’est cette histoire de déterminant que j’ai du mal à saisir.

Merci.