Développement limité

[Pierrot75]

Bonjour à tous,

Je dois montrer qu'une fonction est dérivable en 1 en utilisant les développements limités.
Or, je ne sais pas comment faire, les développements usuels que je connais étant uniquement à l'ordre 0.
Pourriez vous me dire comment faire et le cas échéant, m'indiquer le raisonnement?

Il s'agit de la fonction f(x)=(x-1)/ln(x) .

Merci à vous.
Bonne journée.
@+

[kazeriahm]

salut

je te conseille de poser x=1+h, alors x tend vers 1 ssi h tend vers 0

[Pierrot75]

D'abord, merci à toi de m'avoir répondu aussi rapidemment.

Donc, si j'ai bien compris, je pose x= 1+h et j'obtiens:

f(x) = h / (ln (1+h)

Je cherche le DL de cette fonction à l'ordre 2 au voisinage de 0 et j'obtiens:

h / (h-(h²/2) +o(h²) = 1 / (1-h/2 +o(2) ) = 1

Donc f est dérivable en 1 et f ' (1)= 1


Est-ce bien ça ?

[kazeriahm]

non tu as f(x)=f(1+h)=1/(1-h/2+o(h)), ca n'est pas égal à 1 (comme tu l'as marqué)

ca tend vers 1 quand h tend vers 0 ce qui te montre seulement que f est continue (ou prolongeable par continuité) en 1, avec f(1)=1

toi tu cherches a etudier la derivabilité :

f(1+h)=1/(1-h/2+o(h))=1+h/2+o(h) (en faisant le DL de 1/1-x avec x =h/2-o(h)) ce qui te montre que f est dérivable en 1 de dérivée 1/2

[Pierrot75]

non tu as f(x)=f(1+h)=1/(1-h/2+o(h)), ca n'est pas égal à 1 (comme tu l'as marqué)

ca tend vers 1 quand h tend vers 0 ce qui te montre seulement que f est continue (ou prolongeable par continuité) en 1, avec f(1)=1

toi tu cherches a etudier la derivabilité :

f(1+h)=1/(1-h/2+o(h))=1+h/2+o(h) (en faisant le DL de 1/1-x avec x =h/2-o(h)) ce qui te montre que f est dérivable en 1 de dérivée 1/2

Mais je ne comprends pas pourquoi tu obtiens 1 + h/2 + o(h) ?
Car si on fait le DL de 1/1-x avec x= h/2-o(h), il reste à un moment o(x²) non ?

[kazeriahm]

well si u=h/2-o(h) alors 1/(1-u)=1+u+u^2+u^3+...+u^n+o(u^n)

sauf que u^2+u^3+...+u^n+o(u^n)=o(h) donc ...

[Pierrot75]

Je ne comprends pas pourquoi o(h) est égal à tout ça ? :hum: :mur:

[Pierrot75]

De plus, comment peut-on conclure que f ' (1)= 1/2 ? C'est le premier terme non nul ?

Si l'on veut donner une équation de la tangente au point d'abscisse 1, que faut-il regarder ? La partie à l'ordre 1 ? ce serait donc 1+x/2 l'équation de la tangente ?

Merci à vous ;)

[kazeriahm]

Salut

quand je te dis que u^2+...u^n+o(u^n)=o(h), ca veut dire que [u^2+...u^n+o(u^n)]/h tend vers 0 quand h tend vers 0, c'est à dire que u^2+...u^n+o(u^n) est un o(h), donc qu'on n'en tient pas compte vu qu'on a fait un développement à l'ordre 1 en h

ensuite tu obtiens f(1+h)=1+h/2+o(h) soit f(x)=1+(x-1)/2+o(x-1)

quand tu écris le DL d'une fonction g en un point a à l'ordre 1, la formule de Taylor c'est bien g(x)=g(a)+g'(a)*(x-a)+o(x-a) non ?

[Pierrot75]

Salut

quand je te dis que u^2+...u^n+o(u^n)=o(h), ca veut dire que [u^2+...u^n+o(u^n)]/h tend vers 0 quand h tend vers 0, c'est à dire que u^2+...u^n+o(u^n) est un o(h), donc qu'on n'en tient pas compte vu qu'on a fait un développement à l'ordre 1 en h

ensuite tu obtiens f(1+h)=1+h/2+o(h) soit f(x)=1+(x-1)/2+o(x-1)

quand tu écris le DL d'une fonction g en un point a à l'ordre 1, la formule de Taylor c'est bien g(x)=g(a)+g'(a)*(x-a)+o(x-a) non ?

Ok, merci, je pense avoir compris maintenant.
donc l'équation de la tangente, c'est 1+ (x-1) /2, c'est-à-dire le premier terme non nul?
Et f ' (1) = 1/2 ?

MErci encore de ta patience :zen:

[Pierrot75]

J'ai une autre question, toujours à propos de la même fonction:
comment prouver que:
x € ]0;1[ ==> f(x) < 1
et que
x > 1 ==> f(x) > 1


où f, pour rappel, est la fonction (x-1)/ ln(x)


Mon raisonnement me paraît un peu "léger": je me suis contenté de dire que si x € ]0;1[, (x-1) < 0 et ln(x) < 0

pourriez vous me dire si ça va ?

[kazeriahm]

salut

oui on a x-1<0 et ln x <0 pour x dans ]0,1[ et alors ? ca te permet de conclure que f(x)<1 ????

d'ailleurs c'est bizzare parce que quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, la fonction f tend vers +l'infini

[Pierrot75]

salut,

ça me permet de dire que quelque chose de strictement inférieur à 0 divisé par quelque chose de strictement inférieur à 1 est strictement inférieur à 1

Mais, je ne vois pas comment le justifier autrement...

[lfuine]

Salut,

Utilise ton DL de f en 1 pour déterminer le signe de f(x)-1

[Pierrot75]

Le DL n'intervient que plus tard dans l'exo.. donc je ne pense pas que ça soit comme cela qu'il faille procéder pour montrer que f(x) est inférieure à 1 ou supérieure...

[lfuine]

Ben dans ce cas il faut chercher le signe de la différence f(x)-1=(x-1-lnx)/lnx
or x-1-lnx >= 0 donc le signe f(x)-1 = le signe de lnx. D'où les résultats demandés et ne pas oublié que 1 est une valeur interdite.

[Pierrot75]

Pourquoi avoir l'idée de calculer f(x)-1 ??

[lfuine]

Lorsque tu veux comparer deux fonctions, c'est toujours plus facile de comparer leur différence par rapport à 0. Tu apprends cela en premiére.

[Pierrot75]

:ptdr: Merci à toi.

Je vais me coucher. :king: