A la recherche d'une fonction.

[Lagalère]

Bonjour, l'exercice ci-dessous, me pose quelques difficultés:

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ' sa fonction dérivée.
Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout nombre réel x, (f '(x))² ;)(f(x))² = 1,
(2) f '(0) = 1.
(3) la fonction f ' est dérivable sur R.
1/ a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f '(x) différent de 0.
b) Calculer f(0).
2/ En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que :
(4) pour tout nombre réel x, f "(x) = f (x), où f " désigne la fonction dérivée
seconde de la fonction f .
3/ On pose : u = f ' + f et v = f ' ;) f .
a) Calculer u(0) et v(0).
b) Démontrer que u' = u et v' = ;)v.
c) En déduire les fonctions u et v.
d) En déduire que, pour tout réel x, f (x) = e^(x)-e(-x) / 2.
4/ a) Étudier les limites de la fonction f en +;) et en ;);).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

Voilà, ce que j'ai rédigé: 1/ a) Pour tout x de R on a (f '(x))² - (f(x))² = 1 <==> (f '(x))² = 1 + (f(x))² qui est différent de 0, car c'est la somme de deux nombres positifs, dont l'un est stictement positif donc, (f '(x))² differnt de 0 d'ou f '(x) different de 0.
b) On a f '(0) =1.
Pour tout x de R : (f '(x))² - (f(x))² = 1.
Si x=0 alors (f '(0))² - (f(0))² = 1 <==>1 - (f(0))² = 1 <==> f(0) = 0.
2/ [(f '(x))² - (f(x))²]' = (1)' =0.
<==> [(f '(x))²]' - [(f(x))²]' = 0.
<==> 2f '(x)f "(x) - 2f(x)f '(x) = 0.
<==> 2f '(x) [f "(x) - f(x)] = 0 puisque f '(x) different de 0 alors, f "(x) - f(x) = 0 <==> f "(x) = f(x).
3/ a) u(0) = f '(0) + f(0) = 1 + 0 = 1.
v(0) = f '(0) - f(0) = 1 - 0 = 1.
b) u = f ' + f ==> u' = (f ' + f)' = f " + f ' = f + f ' = u (car f " = f ).
v = f ' - f ==> v' = (f ' - f)² = f " - f ' = f - f ' = - (f ' - f) = -v.
Mais, je suis bloquée par la suite.

Toute aide est la bienvenue et je vous remercie pour celle que vous voudriez bien m'apporter.

[Noemi]

On cherche une fonction telle que u' = u
La fonction e^x ne répond t'elle pas à la question ?

[Lagalère]

Oui mais, c'est plutôt, cette question, qui me pose problème:

3/ d) En déduire que, pour tout réel x, f (x) = e^(x)-e^(-x) / 2.

[regis183]

En effectuant u-v, les f' disparaissent .
Bon courage tu es presque au bout de l'exercice :++:

Cette fonction f s'appelle le sinus hyperbolique, notée sh.

[Lagalère]

Je vous remercie pour votre aide.