Cet exercice me fait du mal et j'aime pas trop ça !!
Soit u un endomorphisme en dim finie , montrer que Dim(Ker(u^2))
MErci de votre aide !
Algèbrrrr
11 messages
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par Nightmare » 26 Fév 2008, 20:30
Salut !
Je pense qu'on peut y aller à coup de base.
On pose)
et )-Dim(ker(u)))
On prend)
base de Ker(u) que l'on complète en )
base de Ker(u²) (possible puisqu'on a évidemment \subset Ker(u^{2}))
Montrons que la famille)_{i\le b})
est libre.
Supposons=0)
On a alors que)
Par conséquent il existe\in \mathbb{K}^{a})
tels que 
Mais la famille est libre d'où les lambda sont tous nuls.
est libre et comme \in Ker(u))
on a 
ie :
)=a+b\le 2a=2dim(Ker(u)))
Il y a surement plus élégant.
:happy3:
Je pense qu'on peut y aller à coup de base.
On pose
On prend
Montrons que la famille
Supposons
On a alors que
Par conséquent il existe
Mais la famille
ie :
Il y a surement plus élégant.
:happy3:
par Babe » 26 Fév 2008, 20:39
depuis quand les sup font les exo des spé récalcitrant lol
pas tapé mon ptit fenec :marteau:
pas tapé mon ptit fenec :marteau:
par Nightmare » 26 Fév 2008, 20:42
babe > Je ne pense pas que ce soit un exo de spé ! Je l'ai dans une de mes feuilles d'exercice donnée en classe.
:happy3:
:happy3:
par fenecman » 26 Fév 2008, 20:46
Nightmare a écrit:babe > Je ne pense pas que ce soit un exo de spé ! Je l'ai dans une de mes feuilles d'exercice donnée en classe.
:happy3:
C'est pas de la spé au sens ou c'est pas vraiment le programme de spé (qui tourne plus autour de la réduction des endo ) , mais c'était une question tombée à un oral de maths au mines !!! J'aurais du encore mettre : Sup quand tu es loin !!!
par Nightmare » 26 Fév 2008, 20:47
J'ai peut être trouvé plus élégant en considérant \to Im(u)\cap Ker(u)\\\;\;\;x\to u(x))
J'y réfléchirai en mangeant.
J'y réfléchirai en mangeant.
par Nightmare » 26 Fév 2008, 21:09
Oui en effet jcrois qu'on s'en sort bien en considérant l'application qu'on va noter h que j'ai définie au dessus.
En effet on a clairement=Ker(u))
.
De plus :
\le Dim(ker(u)))
puisque )
est inclu dans \cap Ker(u))
lui même inclu dans Ker(u)
On applique notre cher théorème du rang :
)=Dim(Ker(u^{2}))-Dim(Ker(u)))
D'où)-Dim(Ker(u))\le Dim(ker(u)))
on a ce qu'on voulait.
:happy3:
En effet on a clairement
De plus :
On applique notre cher théorème du rang :
D'où
:happy3:
par ThSQ » 26 Fév 2008, 22:31
Babe a écrit:depuis quand les sup font les exo des spé récalcitrant
Ouais, faut plus se gêner !
par Lierre Aeripz » 26 Fév 2008, 22:42
Bien vu Nigthmare !
Je te propose, en guise d'exercice, une généralisation assez utile :
Pour u endomorphisme d'un e.v. de dimension finie, la suite_{n\in\mathbb{N}})
est concave (ie la suite _{n\in\mathbb{N}})
est décroissante).
Je te propose, en guise d'exercice, une généralisation assez utile :
Pour u endomorphisme d'un e.v. de dimension finie, la suite
par fenecman » 26 Fév 2008, 23:12
Nightmare a écrit:J'y réfléchirai en mangeant.
ça devait être bon alors ^^ :zen:
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