Preuve du maximum local

[badola]

Bonjour a tous,
je suis coince en montrant la proposition suivante:

Si $f$ est une fonction numerique definie sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}$, qui est 2 fois differentiable en $x_0 \in U$, montrer que si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0) < 0$, alors $x_0$ est un maximum local pour f.

Je dois donc trouver une boule de centre $x_0$ et de rayon $\espsilon$ , $B(x_0, \epsilon)$ tel que $f(x) \leq f(x_0)$, pour tout $x \in B(x_0, \epsilon) \cap U$.

J'ai essayer d'utiliser Theoreme des Accroissements finies mais ca ne donne pas ce que j'ai voulu:

f(x)-f(x_0)= f'(c)(x-x_0) avec $c entre $x_0$ et $x$.
et comme $f'(x_0)= 0$, je peux ecrire et appliquer le Theoreme des accroissements finies a $f'$ puisque f esr 2 fois differentiable
$f'(c) = f'(c)-f'(x_0)= f''(d)(c-x_0)$ avec $d$ entre $c$ et $X_0$, donc

$f(x)-f(x_0) = f''(d)(x-x_0)(c-x_0)$ et je suis coince la car je ne peux pas affirmer que $f''(d) < 0$ avec l'hypothese $f''(x_0) < 0$.

J'ai besoin d'indications.
Merci d'avance

[Lierre Aeripz]

(Il est nécessaire d'utiliser les balises TEX pour afficher le LaTeX.)

La bonne méthode est l'utilisation d'un développement limité.
Le théorème de Taylor-Young te dit que (j'ai pris ), avec .
C'est à dire . Comme , on a bien sur un voisinage de zéro.

Ta méthode est plus courte, mais n'est valable que si f est deux fois continument différentiable pas seulement en zéro, mais sur un voisinage de zéro. Le fait que f''(0) < 0 assure alors que cette inégalité est vrai sur tout un voisinage de zéro.

[badola]

Le probleme c'est qu'on a seulement l'hypothese 2 fois differentiables mais pas continument differentiable.

C'est pourquoi , je suis coince

[Lierre Aeripz]

La méthode avec le développement limité est valable dans ce cas !
As-tu fait les DL en cours ?

[badola]

Nous n'avons pas fait le Developpement limite.
Le cours que nous a ete donne est sur le chapitre differentiantion, theoreme des accroissements finis, et la formule de Taylor suivant:
Si est un intervalle ouvert de et est (n+1)-fois differentiable. Alors pour tout

avec

[Lierre Aeripz]

Les hypohèses de dérivabilité sont trop faible pour pouvoir utiliser ce théorème, il faut le faire à la main.

Récapitulons les hypothèses : f est définie sur un ouvert de contenant 0. f est continument dérivable sur un voisinage de zéro et f' est dérivable en zéro. De plus, f'(0) = 0, et f''(0) = a < 0.

Par définition, .
En particulier, . Comme a est négatif, f' est du signe de l'opposé de h sur un voisinage de zéro. Tu n'as plus qu'à faire un tableau de variation.