Dérivabilité

[Boutal]

Bonjour, j'ai un petit problème concernant cette question : Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 1

La fonction f est définie sur R par f(x) = E(x)sin(pi x)

E(x) étant la fonction partie entière.

Il faut bien que je calcule la limite de (f(x) - f(0)) / (x - 0) quand x tend vers 0 ?
Si la limite est finie, f est dérivable en 0 et si la limite est infinie f n'est pas dérivable en 0 ?

Mais quand je développe (f(x) - f(0)) / (x - 0) et que je cherche la limite je tombe sur une forme indéterminée : 0/0

Si quelqu'un pouvait m'aider...

[Taupin]

oui c'est logique ;) sin(pi*x)/(pi*x) quand x->0 je suppose que tu connais la limite ?

[Boutal]

Comment tu obtiens : sin(pi*x) / (pi*x) ?

[Taupin]

Est-ce que tu connais sa limite ? :marteau:

[Boutal]

En 0 ? Je trouve une forme indéterminée : 0/0...

[Boutal]

Je vois vraiment pas ce que je dois faire...

[tito]

bonjour, fait ce que tu disais au début mais à droite et à gauche de 0, tu obtiendra les dérivées à gauche et à droite (compares les ! ) aprés il ne te reste plus qu'à conclure !

rappel: lim (X => 0) (sin X)/X = 1 (= (cos (0))

E(0,5) = 0 mais E(- O,5) = - 1 !

[Boutal]

J'ai fais ce que tu m'as dit, j'ai calculé les limites en 0- et en 0+

lim(x=>0-) = -1

lim(x=>0+) = 0

Déjà je suis pas sûr que ça soit juste, mais si c'est le cas comment je dois conclure ? En fait je vois pas en quoi c'est utile...

Au fait, d'où on sait que lim (X => 0) (sin X)/X = 1 (= (cos (0)) ?

[tito]

déja pour la limite on a :

lim(X=>0) (sin(X) - sin(0))/(x - 0) = sin '(0) = cos 0 = 1

pour les limites celle en 0+ est juste mais pas en 0- elle est égale à - pi
(je te laisse chercher mais ton erreur provient surement du fait que tu as écrit:

lim(x=>0) (sin x)/x = lim(x=>0) (sin (pi.x)/x) = 1;

en fait on a:
lim(x=>0) (sin(pi.x)/x) = lim(x=>0) pi.(sin(pi.x)/(pi.x)) = lim(X=>0) pi.(sin X)/X
= pi (ou X = pi.x)

il ne te reste plus qu'à conclure

[Boutal]

D'accord, j'ai compris pour la limite en 0-

Par contre, je suis censé dire quoi pour conclure ?

J'ai lim (f(x) - f(0)) / (x - 0) (x=>0-) = - pi

lim (f(x) - f(0)) / (x - 0) (x=>0+) = 0

Donc pour la dérivabilité de f en 0...?

[tito]

bonsoir, par déf. de la dérivabilité :

f dérivable en un point a ssi les dérivées à droite et à gauche existe et sont égales ! Donc puisque la dérivé à gauche ne correspond pas avec celle à droite ta fonction n'est pas dérivable en 0.
L'interprétation graphique ( si tu as une calculatrice graphique) et q'il y aura 2 demi tangente à ta courbe au point (0, f(0))

A+

[Boutal]

Merci beaucoup, je connaissais pas cette définition.

Je dois aussi étudier la dérivabilité de f en 1. J'imagine que c'est le même principe...

[tito]

tout à fait c'est presque exactement la méme chose sauf que c'est la limite en 1- qui sera nul et en 1+ qui vaudra -pi (donc encore pas dérivable) avec une petite difficulté en plus vu que tu auras du x - 1 au dénominateur il faudra faire un petit changament de variable X = x-1 et puis aprés ne pas oublier que sin(y + pi ) = -sin(y).

A+

[Boutal]

Heu...rebonjour,

j'ai démontré que la limite en 1- était égale à 0 et j'ai essayé de faire ce que tu m'as dit pour celle en 1+ mais j'arrive pas à démontrer que lim (x=>1+) = - pi...

[tito]

bonjour, pour la limite en 1+ on a:

lim(x=>1+) (E(x).sin(pi.x))/(x - 1) = lim(X=>0+) (E(X+1).sin(pi.(X+1)))/X
(avec X = x - 1)

= lim(X=>0+) (-pi).(E(X+1).sin(pi.X))/(pi.X)

or E(X+1) tend vers 1 et sin(pi.X)/(pi.X) = 1 (cf message précédent)

= -pi

A+

[Boutal]

Bon...merci, ça a l'air juste ^^

Par contre y a certains passages que je comprends pas...

D'ailleurs, petite question en passant : c'est bien du niveau de Terminale ça ?

[tito]

bonsoir, oui un bon terminal peut étre capable de faire cela (la limite de sinx/x en 0 devant étre connu :we: ), mais toutes ces limites avec les parties entiéres ne tomberont surement pas au bac.... tu les verras plus en détail si tu continues en sup ou à la fac. Si tu as un problémes avec ce que j'ai écrit dit moi ou tu coinces

A+

[Boutal]

D'accord, en fait je comprends pas comment tu passes de ça : lim(x=>1+) (E(x).sin(pi.x))/(x - 1)

à ça : lim(X=>0+) (E(X+1).sin(pi.(X+1)))/X
(avec X = x - 1)

Et puis de là : lim(X=>0+) (E(X+1).sin(pi.(X+1)))/X
(avec X = x - 1)

à là : lim(X=>0+) (-pi).(E(X+1).sin(pi.X))/(pi.X)

Après c'est bon, j'ai compris les 2 dernières limites et j'ai compris comment t'arrives au - pi final.

[tito]

pour le passage de la 1ére à la 2éme on va changer la variable x par X ( en fait le but de tous ces changements et de faire apparaitre la limite de siny/y quand y tend vers 0 car elle est connu )

on pose X = x - 1 donc si tu préféres x = X +1 et de plus quand x tend vers 1+ alors X tend vers 0+. Aprés on remplace dans ligne en changeant la limite

de la 2éme à la 3éme: on a ( " dans la limite " ) sin((X+1)pi) qu'on transforme en :
sin(Xpi + pi) (j'ai juste développé) = - sin (X.pi) (car sin (y+pi) = - sin(y))
donc le signe moins apparait et on fait apparaitre pi en écrivant :

sin(pi.X)/X = pi.(sin(pi.X)/(pi.X)) et cela pour faire apparaitre la forme siny/y
ou y = pi.X et pi.X tend bien vers 0.

A+

[Boutal]

Merci beaucoup, j'ai tout compris :we:

Est-ce que tu pourrais m'aider pour mon 2ème exercice ? J'arrive pas à trouver la limite de 2 suites...