Théorème des acroissements finis

[cryozone]

Bonjours a tous.

Voila quelque temps que je bloque sur un exo, alors j'espere pouvoir trouver de l'aide ici:

1-Démontré pour X>-1 que ln(1+x)<=x inégalité étant stricte pour x different de 0.
On a en particulier ln2<1 : que pouvais vous en deduire pour ln 4?

2-Soit f(x)=ln(2+x) pour x>-2
En utilisant une fonction auxiliaire g(x)=f(x)-x, montrez que l'équation f(x) =x admet au moin une solution dans l'intervalle [0,2]


Le titre de l'exo étant théorème des acroissements finis, je doit donc l'utilisé pour résoudre ce dernier. Et cela est fort embétant.

1-En effet, en étudiant le signe de la difference ln(1+x)-x avec derivé et tableau de variation l'exercice est facile.

si on a ln2<1 on a donc ln2+ln2<1+ln2 donc ln2x2 <1+ln2 donc ln4<1+ln2 (mais est ce cela que la question demande? je ne vois pas le raport avec l question précedente)

2-Une nouvelle fois je ne vois pas comment utiliser ce théoreme des acroissement.... , j'étudis tout simplement la fonction ln(2+x)-x avec un tableau de varation, étude des bornes [0,2], ce qui me donne une unique solution dans cette intervalle.

Donc si quelqu'un a une idée de la façon d'intercaler ce $#!?#$ de théorème dedans ^^ je lui serai extrémement reconnaissant

[ThSQ]

Peut-être faut-il utiliser des développements finis ?

[cryozone]

Peut-être faut-il utiliser des développements finis ?

développements finis? O_X je connais limités mais pas finis ^^'

[Taupin]

Euh c'est quoi ta question en clair ?

[cryozone]

répondre aux questions 1 et 2 mais sans étude de fonction, mais avec le théorème des acroissements finis ( ou inegalité des acroissement finis)

[Taupin]

Oui ba pour la question 2, t'applique le théorème des accroissements finis à la fonction g, où est le problème ? tu connais l'énoncé du théorème ?

[cryozone]

Oui ba pour la question 2, t'applique le théorème des accroissements finis à la fonction g, où est le problème ? tu connais l'énoncé du théorème ?

Evidement, mais je ne vois pas du tout comment arrivé au résultat :s.

[Taupin]

Hum, énonce pour voir, car c'est donné ;) Si tu énonce le thm et que tu l'applique correctement à g tu as complètement fini la question alors j'attends ton énoncé ;)

[cryozone]

soit a et b deux réel tel que a
Pour f fonction réel, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, alors
il existe un C de ]a,b[ tel que f'(c)= f(b)-f(a)/b-a

Pour l'inegalité

a
pour x apartien a [a,b] m <= f'(x) <= M
alors m <= f(b)-f(a)/b-a <= M

de même si il existe K tel que |f'(x)|<=K
alors il existe (x,y) apartenant a [a,b]^2 tel que |f(y)-f(x)|<=K(y-x|

[cryozone]

sortie tout droit de mon cour ;) mais sa m'aide pas :briques: