Sup quand tu es loin !!

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fenecman
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Sup quand tu es loin !!

par fenecman » 22 Fév 2008, 10:20

Bonjour, voilà un exercice de sup que je n'arrive pas à refaire ( j'ai du oublier quelquechose ....)
On me demande si on peut trouver un produit scalaire tel que soit une matrice de rotation.
Merci



Culioli
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par Culioli » 23 Fév 2008, 01:20

fenecman a écrit:Bonjour, voilà un exercice de sup que je n'arrive pas à refaire ( j'ai du oublier quelquechose ....)
On me demande si on peut trouver un produit scalaire tel que soit une matrice de rotation.
Merci


aucune idée a priori mais est-ce que cela veut dire la chose suivante :

la matrice donnée ci-dessus serait une matrice de rotation d'un angle si elle avait la forme


et la définition du et du est liée au produit scalaire.

par exemple, soit M une matrice (définie positive) permettant de définir un produit scalaire, on aurait



et l'équivalent pour le sinus, etc, etc ???

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mathelot
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par mathelot » 23 Fév 2008, 02:45

fenecman a écrit:On me demande si on peut trouver un produit scalaire tel que soit une matrice de rotation.



Une rotation est une application linéaire qui conserve le produit scalaire de deux vecteurs, la norme d'un vecteur et l'orientation (ie, le signe des déterminants des bases).

fenecman
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par fenecman » 23 Fév 2008, 13:49

Culioli a écrit:par exemple, soit M une matrice (définie positive) permettant de définir un produit scalaire

c vrai j'y avais pensé à ce produit scalaire, car si il faut en exhiber un , a par le produit scalaire canonique qui ne fonctionne pas , j'en connais pas beaucoup d'autre....

Mathelot je vois pas où tu veux en venir ?

kazeriahm
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par kazeriahm » 23 Fév 2008, 14:24

salut

il y a surement moins bourrin mais si un tel produit scalaire existe, on le note f. Si X=(x1,x2) dans R^2, on a f(X,Y)=a*x1*y1+b*x2*y2 avec a et b>0 (car f est symètrique définie positive)

Ta matrice est de rotation pour f ssi le produit scalaire de ses deux vecteurs colonnes vaut 0, la norme de ces deux vecteurs vaut 1 et son déterminant vaut 1.

La dernière condition est vraie, il reste à chercher si on peut trouver a et b pour que les deux premières le soient également

fenecman
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par fenecman » 23 Fév 2008, 18:02

J'avoue c bourrin !!! Mais bon jvais essayé quand même ...
Par contre, est-ce que c'est immediat qu'un produit scalaire s'écrit sous la forme ax1y1+bx2y2 ??

fenecman
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par fenecman » 24 Fév 2008, 12:28

Si ce que tu dis est vrai il est immediat qu'il n'existe pas de prod scalaire repondant au problème...

 

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