Exos séries

[Anonyme]

slt toutle monde ,
je bloque sur deux exos concernant les séries numériques ( et oui tjs :p)

exo1

il s'agit d'étudier Un = 1+1/2+.........+1/n-ln(n)
je sais , qu'on doit trouver la cste d'euler ( 0.557 il me semble ?) bref une lim entre 0 et 1
mais comment ena rriver là ? je me suis dit que x|----->1/x est une fct qui décroit à partir d'un certain rang donc Sum(i=1 à n)>=int(1 à n) dx/x , et puis j'obtiens aussi 0<=Un

exo 2
Etudier la nature de la suite de terme gnrl :
Un = ln(n-1)!-(n-1/2)ln(n)+n
là j'ai calcule (Un - Un-1) , j'ai trouvé 2 .... et puis rien lol

help please :)

[danskala]

salut, pour l'exercice 1, on peut procéder comme suit:

on remarque tout d'abord que l'on a l'équivalence suivante


"la suite est convergente" equivaut à "la série de terme général est convergente"


(En effet, formons les sommes partielles de la série de terme général :

Les différents terme s'annulent 2 à 2 sauf et
donc
Et l'équivalence citée plus haut apparaît évidente)


Pour montrer que ta suite converge on peut à la place montrer que la série de terme général converge. ()

On a

En utilisant les développements limités, on a


Donc

Or la série de terme général est de signe constant et est convergente danc la série de terme général est aussi convergente.

Donc la suite de terme général converge.

bye.
:we:

[danskala]

pour l'exercice 2, tu peux, comme pour l'exercice 1, étudier la série de terme général (ou celle de terme général , si les calculs sont plus simples)

[Anonyme]

merci bcp danskala ;)
je connaissais même pas ce théorème mais la démo est claire !
au moins pr le 2 j'étais dans la bonne voie mais j'ai pas su conclure lol (enfin , ce qui m'a poussé à faire Un-Un-1 c'était dans le but de me débarrasser du factoriel )sinon , tu peux me confirmer qu'on trouve Un-Un-1 = 0 ? donc,on ne peut rien dire et va falloir trouver autre chose pr étudier la série de terme gnrl Un-Un-1...

[Anonyme]

oops , fais pas attention à ce que j'ai dit à propos de Un-Un-1 je délire :p
merci encore pr tes explications :)

[danskala]

Voilà, sauf erreur de calcul.

Je te laisse terminer

@+

[Anonyme]

oui , voilà alors bon j'avais calculé Un+1-Un et maintenant je calcule Un-Un-1 ( enfin là j'ai terminé ton calcul :p) et je trouve à chaque fois o(1/n) ! ce qui est en contradiction avec le reste de l'exercice , car ma suite doit converger ( don cla série doit converger ) je devrai trouver o(1/n^2) c curieux :

(n-1/2)*ln(1-1/n)+1
= (n-1/2)*(-1/n-1/2*n^2+o(1/n^2))+1
= -1-1/2*n+o(1/n)+1/2*n+1/(4*n^2)-1/2*o(1/n^2)
=o(1/n) non ?
puisque 1/4*n^2 et o(1/n^2) sont tous deux dans o(1/n) , une fct négligeable devant o(1/n^2p) l'est forcément devant o(1/n) non ?
je viens de faire la question 2 , nickel ( c'était en rapport avec la formule de stirling) mais j'ai fais comme ci ma série convergeait ( ce qui est le cas ) mais , ou est le prob dans mes calculs ?

encore merci , danskala t'es sympa ^^

[Anonyme]

au temps pour moi , en fait je viens de relire le truc et c : O (1/n^2) , et non o(1/n^2) ce qui fait que tout rentre dans l'ordre :)
et puis je suis bête , même pr o(1/n) le résultat fait que ça converge puisque les o(1/n) sont de la forme 1/n^alpha , avec alpha>1 ....

voilà je veux juste , que vous me confirmez que je dis pas de bêtises ^^
thx !

[Galt]

Attention, tout ce qui est ne converge pas, par ex la série de terme général diverge (par comparaison avec une intégrale)

[Anonyme]

ah oué c vrai !
mais alors , comment se fait il que je trouve o(1/n) et que ma série doit converger ?

[danskala]

salut,

qu'est-ce qui te fait dire que la suite de départ doit converger ?

[Galt]

Pour savoir si ça converge, il faut faire le DL à un ordre plus élevé :
, ce qui donne soit . Un DL à l'ordre 3 donne donc , et en faisant le développement on voit que les termes en s'en vont, ce qui fait que est en , donc que la série de terme général est convergente, et donc que la suite converge

[Anonyme]

salut,

qu'est-ce qui te fait dire que la suite de départ doit converger ?

l'énoncé .... ( lol )

merci , à toi galt pr l'explication , mais ... ( dsl d'être chiant ) si je développe à un certain ordre (2 par exemple ) ça div , et si je vais à l'ordre 3 ça conv .... pas logique tt ça ... ?

[Galt]

Non : si tu développes à l'ordre 2, tu ne peux pas conclure parce que o(1/n), on ne sait pas si c'est convergent ou divergent.
Quand on va plus loin, le o(1/n) s'est avéré être en donc série convergente

[Anonyme]

Ah daccord , très bien !
Mille merci pour vos réponses , et votre patience surtout !!!