Bonjour !
J'aurais besoin de votre aide pour m'aider a faire et à comprendre un exercice que je trouve particulierement difficile pour un premiere S.
EXERCICE POLYNOME TCHEBYCHEV
1 ) Montrer que pour tout t, cos(2t)=P2(cos t)
ou P2 est le polynôme défini par P2(x)=2x²-1.
2 ) a ) En écrviant 3t=2t+t , montrer que pour tout t,
cos(3t)=2cos^3t-cost-2sin²t.cost
2 ) b ) En déduire que cos(3t)=4cos^3t-3cost
On a donc cos(3t)=P3(cost)
ou P3 est le polynôme défini par P3(x)=4x^3-3x
3 ) a ) Exprimer cos(4t) en fonction de cost
3 ) b ) Quel est le polynôme P4 tel que :
cos(4t)=P4(cost) ?
4 ) a ) Démontrer que pour tout n appartient à N ,
cos((n+1)t)+cos((n-1)t)=2cos(nt).cost
4 ) b ) En déduire que cos(5t)=P5(cost)
ou P5 est un polynôme que l'on précisera.
4 ) c ) Montrer que P5(x)=x.Q(x)
ou Q est un polynôme de degré 4 composé de termes d'exposants pairs.
4 ) d ) Résoudre l'équation P5(x)=0